Введение

В теории игр, сигнальная игра – это простой тип динамической байесовской игры. Суть сигнальной игры заключается в том, что один игрок предпринимает действие – сигнал – чтобы передать информацию другому игроку, причём отправка сигнала обходится дороже, если передаётся ложная информация. Например, производитель может предоставить гарантию на свой продукт, чтобы сигнализировать потребителям о его надёжности. Классический пример – работник, получающий высшее образование не для повышения квалификации, а для демонстрации своих способностей работодателям. Простая сигнальная игра включает двух игроков: отправителя и получателя. Отправитель может быть одного из двух типов, например, "желательного" и "нежелательного", с различными функциями выигрыша. Получатель знает вероятность каждого типа, но не знает, какой тип представляет конкретный отправитель. У получателя только один возможный тип. Первым ходит отправитель, выбирая действие, называемое "сигналом" или "сообщением" (хотя термин "сообщение" чаще используется в играх "дешёвых разговоров", где отправка сообщений не требует затрат). Вторым ходит получатель, после наблюдения за сигналом. Выигрыши обоих игроков зависят от типа отправителя, выбранного им сообщения и действия получателя. Основное противоречие в игре заключается в том, что отправитель стремится убедить получателя в том, что он относится к "желательному" типу, и будет выбирать сигнал, чтобы достичь этой цели. Успех зависит от того, отправит ли "нежелательный" тип тот же сигнал, и как получатель интерпретирует этот сигнал.

Совершенное байесовское равновесие

Концепция равновесия, релевантная для сигнальных игр, – это совершенное байесовское равновесие, уточнение байесовского равновесия Нэша. Природа выбирает отправителя с типом с вероятностью . Затем отправитель выбирает вероятность, с которой предпринимает сигнальное действие , что можно записать как для каждого возможного типа . Получатель наблюдает сигнал , но не , и выбирает вероятность, с которой предпринимает ответное действие , что можно записать как для каждого возможного типа . Выигрыш отправителя равен , а выигрыш получателя равен .

Совершенное байесовское равновесие – это комбинация убеждений и стратегий для каждого игрока. Оба игрока полагают, что другой будет следовать стратегиям, указанным в равновесии, как и в простом равновесии Нэша, если только они не наблюдают что-то, что имеет вероятность нуля в равновесии. Убеждения получателя также включают в себя распределение вероятностей , представляющее вероятность, приписываемую тому, что отправитель имеет тип , если получатель наблюдает сигнал . Стратегия получателя – это выбор . Стратегия отправителя – это выбор . Эти убеждения и стратегии должны удовлетворять определенным условиям:

Последовательная рациональность: каждая стратегия должна максимизировать ожидаемую полезность игрока, учитывая его убеждения. Согласованность: каждое убеждение должно обновляться в соответствии со стратегиями равновесия, наблюдаемыми действиями и правилом Байеса на каждом пути, достигнутом в равновесии с положительной вероятностью. На путях с нулевой вероятностью, известных как «вне равновесные пути», убеждения должны быть указаны, но могут быть произвольными. Типы совершенных байесовских равновесий, которые могут возникнуть, можно разделить на три различные категории: равновесие в объединении, равновесие в разделении и полуразделяющее равновесие. В данной игре может быть одно или несколько равновесий. В равновесии в объединении отправители разных типов выбирают один и тот же сигнал. Это означает, что сигнал не предоставляет никакой информации получателю, поэтому убеждения получателя не обновляются после получения сигнала. В равновесии в разделении отправители разных типов всегда выбирают разные сигналы. Это означает, что сигнал всегда раскрывает тип отправителя, поэтому убеждения получателя становятся детерминированными после получения сигнала. В полуразделяющем равновесии (также называемом частичным объединением) некоторые типы отправителей выбирают одно и то же сообщение, а другие типы выбирают разные сообщения. Если количество типов отправителей превышает количество сообщений, равновесие никогда не может быть равновесием в разделении (но может быть полуразделяющим). Существуют также гибридные равновесия, в которых отправитель рандомизирует между объединением и разделением.

Образовательная игра

Статья Майкла Спенса 1973 года об образовании как сигнале способностей является началом экономического анализа сигналинга. Игроки – работник и две фирмы. Работник выбирает уровень образования – сигнал, после чего фирмы одновременно предлагают ему заработную плату, и он принимает одно из предложений. Тип работника, известный только ему, может быть либо высокой способностью с вероятностью, либо низкой способностью с вероятностью 1/2. Выигрыш работника с высокой способностью равен , а с низкой – . Фирма, нанимающая работника по заработной плате , получает выигрыш , а другая фирма – 0. В этой игре фирмы конкурируют, снижая заработную плату до уровня ожидаемой способности, поэтому, если сигналинг невозможен, результатом будет . Это также будет заработная плата в пулинговом равновесии, где оба типа работников выбирают один и тот же сигнал, и фирмы полагаются на априорную вероятность 0,5 того, что у работника высокая способность. В разделяющем равновесии заработная плата будет равна 0 для уровня сигнала, выбранного работником с низкой способностью, и 10 для сигнала работника с высокой способностью. Существует множество равновесий, как пулинговых, так и разделяющих, в зависимости от ожиданий. В разделяющем равновесии работник с низкой способностью выбирает . Заработная плата будет равна и для некоторого критического уровня , сигнализирующего о высокой способности. Для того чтобы работник с низкой способностью выбрал , необходимо, чтобы , следовательно, , и мы можем заключить, что . Для того чтобы работник с высокой способностью выбрал , необходимо, чтобы , следовательно, , и мы можем заключить, что . Таким образом, любое значение между 5 и 10 может поддерживать равновесие. Совершенное байесовское равновесие требует указания убеждений вне равновесия для всех возможных уровней , отличных от 0 и , которые являются «невозможными» в равновесии, поскольку ни один из типов не выбирает их. Эти убеждения должны быть такими, чтобы ни один из игроков не хотел отклоняться от своей равновесной стратегии 0 или к другому . Удобное убеждение состоит в том, что , если , а более реалистичное убеждение, поддерживающее равновесие, – , если и если . Существует континуум равновесий для каждого возможного уровня . Одно из равновесий, например, – .

В пулинговом равновесии оба типа выбирают один и тот же . Одно из пулинговых равновесий – когда оба типа выбирают – отсутствие образования, с убеждением вне равновесия . В этом случае заработная плата будет равна ожидаемой способности 5, и ни один из типов работников не отклонится к более высокому уровню образования, поскольку фирмы не будут считать, что это дает информацию об их типе. Наиболее удивительный результат заключается в том, что существуют также пулинговые равновесия с . Предположим, мы зададим убеждение вне равновесия равным . Тогда заработная плата будет равна 5 для работника с , но 0 для работника с заработной платой . Работник с низкой способностью сравнивает выигрыши и , и если , он готов следовать своей равновесной стратегии . Работник с высокой способностью выберет , тем более. Таким образом, существует другой континуум равновесий со значениями в [0, 2.5]. В модели сигналинга в образовании ожидания имеют решающее значение. Если, как в разделяющем равновесии, работодатели ожидают, что люди с высокой способностью получат определенный уровень образования, а люди с низкой способностью – нет, мы приходим к основному выводу: если люди не могут напрямую сообщать о своих способностях, они будут получать образование, даже если оно не повышает производительность, а лишь для демонстрации способностей. Или, в пулинговом равновесии с , если работодатели не считают, что образование что-либо сигнализирует, мы можем получить результат, что никто не получает образование. Или, в пулинговом равновесии с , все получают образование, которое совершенно бесполезно, даже не показывая, кто обладает высокой способностью, из-за страха, что если они отклонятся и не получат образование, работодатели подумают, что у них низкая способность.

Игра в пиво-киче

Игра "Пивной киш" Чо и Крепса опирается на стереотип о том, что любители киша менее мужественны. В этой игре индивид B рассматривает возможность вызвать на дуэль другого индивида A. B знает, что A либо трус, либо вспыльчив, но не знает, кто из них. B предпочтет дуэль, если A – трус, но не если A – вспыльчив. Игрок A, независимо от типа, хочет избежать дуэли. Перед принятием решения B имеет возможность увидеть, что A выбирает на завтрак – пиво или киш. Оба игрока знают, что трусы предпочитают киш, а вспыльчивые – пиво. Смысл игры заключается в анализе выбора завтрака каждым типом A. Это стало стандартным примером сигнальной игры. Подробности см.

Применение сигнальных игр

В играх с сигнализацией описываются ситуации, когда один из игроков обладает информацией, недоступной другому. Такие ситуации с асимметричной информацией широко распространены в экономике и поведенческой биологии.

Философия

Первой сигнальной игрой была игра Льюиса, представленная в его докторской диссертации (и впоследствии в книге) «Конвенция». В работе «Ответ на У. В. О. Куайна» Льюис пытается разработать теорию конвенции и значения, используя сигнальные игры. В наиболее радикальных своих утверждениях он предполагает, что понимание равновесных свойств соответствующей сигнальной игры охватывает всё, что необходимо знать о значении:

Я описал характер случая сигнализации, не упоминая о значении сигналов: например, что два фонаря означали приближение красных войск по морю, или что-то подобное. Однако, кажется, ничего важного не упущено, поэтому сказанное должно каким-то образом подразумевать, что сигналы имеют свои значения. Использование сигнальных игр продолжается в философской литературе. Другие использовали эволюционные модели сигнальных игр для описания возникновения языка. Исследования возникновения языка в простых сигнальных играх включают модели Хуттеггера, Грима и др., Скайрмса и Цоллмана. Хармс и Хаттеггер предприняли попытку расширить исследование, включив в него различие между нормативным и описательным языком.

Экономика

Первым применением теории сигнальных игр к экономическим проблемам стала игра Майкла Спенса об образовании. Вторым применением стала игра о репутации.

Биология

Ценный прогресс был достигнут благодаря применению сигнальных игр к ряду биологических вопросов. Наиболее заметным примером является модель привлечения партнера, предложенная Аланом Графеном (1990). Рога оленей, сложное оперение павлинов и райских птиц, а также пение соловья – все это примеры таких сигналов. Анализ биологической сигнализации, проведенный Графеном, формально схож с классической монографией Майкла Спенса о сигнализации на экономическом рынке. В последнее время ряд работ Гетти показал, что анализ Графена, как и анализ Спенса, основан на критически важном упрощающем предположении о том, что сигналящие особи обменивают затраты на выгоды аддитивным способом, подобно тому, как люди инвестируют деньги для увеличения дохода в той же валюте. Это предположение об аддитивном обмене затрат и выгод может быть справедливо для некоторых биологических систем сигнализации, но не применимо к мультипликативным компромиссам, таким как компромисс между затратами на выживание и выгодами от размножения, который, как считается, определяет эволюцию сексуально отобранных сигналов. Чарльз Годфрей (1991) смоделировал попрошайническое поведение птенцов как сигнальную игру. Попрошайничество птенцов не только информирует родителей о голоде птенца, но и привлекает хищников к гнезду. Родители и птенцы находятся в конфликте интересов. Птенцы выигрывают, если родители прилагают больше усилий для кормления, чем их конечный уровень выгоды от инвестиций. Родители обменивают инвестиции в текущих птенцов на инвестиции в будущее потомство. Сигналы, отпугивающие преследователей, были смоделированы как сигнальные игры. Газели Томпсона известны тем, что иногда выполняют «стотт» – прыжок в воздух на несколько футов, демонстрируя белый хвост, когда обнаруживают хищника. Алкок и другие предположили, что это действие является сигналом скорости газели для хищника. Это действие успешно различает типы особей, поскольку больному существу было бы невозможно или слишком дорого его выполнить, и поэтому хищник воздерживается от преследования газели, выполняющей «стотт», поскольку очевидно, что она очень ловкая и ее трудно поймать. Концепция информационной асимметрии в молекулярной биологии давно известна. Хотя молекулы не являются рациональными агентами, моделирование показало, что посредством репликации, отбора и генетического дрейфа молекулы могут вести себя в соответствии с динамикой сигнальных игр. Такие модели были предложены для объяснения, например, возникновения генетического кода из мира РНК и аминокислот.

Дорогостоящая и бесплатная сигнализация

Одним из основных применений игр сигнализации как в экономике, так и в биологии было определение условий, при которых честная сигнализация может быть равновесием игры. Иными словами, при каких условиях мы можем ожидать, что рациональные люди или животные, подверженные естественному отбору, будут раскрывать информацию о своих типах? Если у обеих сторон совпадают интересы, то есть они обе предпочитают одни и те же исходы во всех ситуациях, то честность является равновесием. (Хотя в большинстве этих случаев существуют и некоммуникативные равновесия.) Однако, если интересы сторон не полностью совпадают, поддержание информативных систем сигнализации представляет собой серьезную проблему. Рассмотрим ситуацию, описанную Джоном Мейнардом Смитом, касающуюся обмена между родственниками. Предположим, сигнализатор может быть либо голодным, либо просто испытывать чувство голода, и он может сообщить об этом другому индивиду, у которого есть пища. Предположим, что сигнализатор хотел бы получить больше пищи независимо от своего состояния, но индивид, обладающий пищей, захочет поделиться едой только в том случае, если сигнализатор действительно голоден. В то время как у обоих игроков совпадают интересы, когда сигнализатор голоден, у них противоположные интересы, когда сигнализатор просто испытывает чувство голода. В последнем случае у сигнализатора появляется стимул лгать о своей потребности, чтобы получить пищу. И если сигнализатор регулярно лжет, то получатель должен игнорировать сигнал и поступать так, как считает наилучшим образом. Определение стабильности сигнализации в таких ситуациях волнует как экономистов, так и биологов, и оба независимо предположили, что стоимость сигнала может играть роль. Если отправка сигнала связана с затратами, то сигнализировать может быть выгодно только голодному индивиду. Анализ того, когда затраты необходимы для поддержания честности, стал важной областью исследований в обеих этих областях.