Интерполяция Биркгоффа: метод поиска полинома по заданным значениям производных в точках. Обобщение полиномиальной интерполяции, разработанное Биркгоффом в 1906 году.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В математике интерполяция Биркоффа является обобщением интерполяции полиномов. Она относится к задаче нахождения полинома степени *n* такого, что только определенные производные принимают заданные значения в заданных точках:
In mathematics, Birkhoff interpolation is an extension of polynomial interpolation. It refers to the problem of finding a polynomial of degree such that only certain derivatives have specified values at specified points:
где заданы точки данных *x<sub>i</sub>* и неотрицательные целые числа *k<sub>i</sub>*. Она отличается от интерполяции Эрмита тем, что можно задавать производные полинома в некоторых точках, не задавая при этом производные более низкого порядка или сам полином. Название происходит от имени Джорджа Дэвида Биркоффа, который впервые исследовал эту задачу в 1906 году.
where the data points and the nonnegative integers are given. It differs from Hermite interpolation in that it is possible to specify derivatives of at some points without specifying the lower derivatives or the polynomial itself. The name refers to George David Birkhoff, who first studied the problem in 1906.
Некоторые примеры
Рассмотрим дифференцируемую функцию на , такую что. Покажем, что не существует квадратичного интерполяционного многочлена Бирхоффа, удовлетворяющего условию , где: Поскольку , многочлен можно представить в виде (выполняя выделение полного квадрата), где – это просто коэффициенты интерполяции. Производная интерполяционного многочлена задается выражением , однако это абсурдно, поскольку не обязательно. Матрица инцидентности задается следующим образом:
Consider a differentiable function on , such that Let us see that there is no Birkhoff interpolation quadratic polynomial such that where : Since , one may write the polynomial as (by completing the square) where are merely the interpolation coefficients. The derivative of the interpolation polynomial is given by This implies , however this is absurd, since is not necessarily The incidence matrix is given by:
Рассмотрим дифференцируемую функцию на , и обозначим с. Покажем, что действительно существует квадратичный интерполяционный многочлен Бирхоффа, такой что и построим интерполирующий многочлен в узлах , такой что. Таким образом, многочлен: является интерполяционным многочленом Бирхоффа. Матрица инцидентности задается следующим образом:
Consider a differentiable function on , and denote with Let us see that there is indeed Birkhoff interpolation quadratic polynomial such that and Construct the interpolating polynomial of at the nodes , such that Thus the polynomial : is the Birkhoff interpolating polynomial. The incidence matrix is given by:
Пусть задано натуральное число и дифференцируемая функция на . Существует ли многочлен, такой что: и для с ? Построим полином Лагранжа/Ньютона (один и тот же интерполирующий полином, но в разных формах для вычисления и представления), который удовлетворяет для , тогда полином является интерполяционным многочленом Бирхоффа, удовлетворяющим вышеуказанным условиям. Матрица инцидентности задается следующим образом:
Given a natural number , and a differentiable function on , is there a polynomial such that: and for with ? Construct the Lagrange/Newton polynomial (same interpolating polynomial, different form to calculate and express them) that satisfies for , then the polynomial is the Birkhoff interpolating polynomial satisfying the above conditions. The incidence matrix is given by:
Пусть задано натуральное число и дифференцируемая функция на . Существует ли многочлен, такой что: и для ? Построим как интерполирующий многочлен в точках и , таким образом, что определим итерации . Тогда является интерполяционным многочленом Бирхоффа. Матрица инцидентности задается следующим образом:
Given a natural number , and a differentiable function on , is there a polynomial such that: and for ? Construct as the interpolating polynomial of at and , such that Define then the iterates Then is the Birkhoff interpolating polynomial. The incidence matrix is given by: