Кіріспе
Математикада Бирхофф интерполяциясы – полиномдық интерполяцияның кеңейтімі. Бұл белгілі бір нүктелерде белгілі бір туындылардың ғана берілген мәндеріне ие полиномды табу мәселесі:
мұнда дерек нүктелері және теріс емес бүтін сандар берілген. Гермит интерполяциясынан айырмасы – төменгі дәрежедегі туындыларды немесе полиномның өзін көрсетпей, кейбір нүктелерде туындыларды нақты мәндермен анықтау мүмкіндігі бар. Бұл атау 1906 жылы бұл мәселені алғаш зерттеген Джордж Дэвид Бирхоффтың есімімен байланысты.
Кейбір мысалдар
, дифференциалдық функцияны қарастырайық , мұнда: Біркофф интерполяциясы бар екенін көрсетейік, яғни , мұндағы : екенін көрсетейік. , болғандықтан, полиномды (квадратты толықтыру арқылы) былай жазуға болады , мұндағы - интерполяция коэффициенттері ғана. Интерполяциялық полиномның туындысы былай беріледі. Бұл дегенді білдіреді, бірақ бұл абсурд, өйткені міндетті түрде емес. Қиылыс матрицасы былай берілген: , және , дифференциалдық функцияны қарастырайық. Біркофф интерполяциясы бар екенін көрсетейік, яғни және . Интерполяциялық полиномды түйіндерде құрастырыңыз, сонда полином: - Біркофф интерполяциялық полиномы болады. Қиылыс матрицасы былай берілген:
Consider a differentiable function on , and denote with Let us see that there is indeed Birkhoff interpolation quadratic polynomial such that and Construct the interpolating polynomial of at the nodes , such that Thus the polynomial : is the Birkhoff interpolating polynomial. The incidence matrix is given by:
Given a natural number , and a differentiable function on , is there a polynomial such that: and for with ? Construct the Lagrange/Newton polynomial (same interpolating polynomial, different form to calculate and express them) that satisfies for , then the polynomial is the Birkhoff interpolating polynomial satisfying the above conditions. The incidence matrix is given by:
Given a natural number , and a differentiable function on , is there a polynomial such that: and for ? Construct as the interpolating polynomial of at and , such that Define then the iterates Then is the Birkhoff interpolating polynomial. The incidence matrix is given by:
Натурал санды және , дифференциалдық функцияны қарастырайық, сонда: және үшін , осындай полином бар ма? Лагранж/Ньютон полиномын құрастырыңыз (бірдей интерполяциялық полином, оларды есептеу және көрсетудің әртүрлі формасы), содан кейін полином жоғарыдағы шарттарды қанағаттандыратын Біркофф интерполяциялық полиномы болады. Қиылыс матрицасы былай берілген:
Consider a differentiable function on , and denote with Let us see that there is indeed Birkhoff interpolation quadratic polynomial such that and Construct the interpolating polynomial of at the nodes , such that Thus the polynomial : is the Birkhoff interpolating polynomial. The incidence matrix is given by:
Given a natural number , and a differentiable function on , is there a polynomial such that: and for with ? Construct the Lagrange/Newton polynomial (same interpolating polynomial, different form to calculate and express them) that satisfies for , then the polynomial is the Birkhoff interpolating polynomial satisfying the above conditions. The incidence matrix is given by:
Given a natural number , and a differentiable function on , is there a polynomial such that: and for ? Construct as the interpolating polynomial of at and , such that Define then the iterates Then is the Birkhoff interpolating polynomial. The incidence matrix is given by:
Натурал санды және , дифференциалдық функцияны қарастырайық, сонда: және үшін , осындай полином бар ма? Интерполяциялық полином ретінде және түйіндерінде құрастырыңыз, содан кейін қайталамаларды анықтаңыз, содан кейін Біркофф интерполяциялық полиномы болады. Қиылыс матрицасы былай берілген:
Consider a differentiable function on , and denote with Let us see that there is indeed Birkhoff interpolation quadratic polynomial such that and Construct the interpolating polynomial of at the nodes , such that Thus the polynomial : is the Birkhoff interpolating polynomial. The incidence matrix is given by:
Given a natural number , and a differentiable function on , is there a polynomial such that: and for with ? Construct the Lagrange/Newton polynomial (same interpolating polynomial, different form to calculate and express them) that satisfies for , then the polynomial is the Birkhoff interpolating polynomial satisfying the above conditions. The incidence matrix is given by:
Given a natural number , and a differentiable function on , is there a polynomial such that: and for ? Construct as the interpolating polynomial of at and , such that Define then the iterates Then is the Birkhoff interpolating polynomial. The incidence matrix is given by: