Введение
Стохастический процесс в анализе временных рядов
В статистическом анализе временных рядов процесс, стационарный по тренду, – это стохастический процесс, из которого можно удалить лежащий в основе тренд (функцию, зависящую только от времени), оставив стационарный процесс. Тренд не обязательно должен быть линейным. И наоборот, если для достижения стационарности процесс требует дифференцирования, то он называется стационарным по разностям и обладает одним или несколькими единичными корнями. Эти два понятия иногда путают, но, несмотря на множество общих свойств, они различаются во многих аспектах. Временной ряд может быть нестационарным, но при этом не иметь единичного корня и быть стационарным по тренду. Как в процессах с единичным корнем, так и в процессах, стационарных по тренду, среднее значение может расти или убывать со временем; однако, при воздействии шока, процессы, стационарные по тренду, демонстрируют возврат к среднему (то есть являются переходными, временной ряд снова сходится к растущему среднему, на которое шок не повлиял), в то время как процессы с единичным корнем оказывают постоянное влияние на среднее значение (то есть сходимости со временем не происходит).
Формальное определение
Процесс {Y} считается стационарным по тренду, если линейная регрессия позволяет получить оценку истинного наклона базового тренда и оценку базового пересечения b; если эта оценка существенно отличается от нуля, этого достаточно, чтобы с высокой степенью уверенности показать, что переменная Y нестационарна. Остатки от этой регрессии задаются выражением:
Если статистически можно показать, что эти оцененные остатки являются стационарными (точнее, если можно отвергнуть гипотезу о том, что истинные базовые ошибки нестационарны), то остатки называют детрендированными данными, а исходный ряд {Yt} считается стационарным по тренду, хотя он и не является стационарным.
Экспоненциальная тенденция роста
Многие экономические временные ряды характеризуются экспоненциальным ростом. Например, предположим, что выдвигается гипотеза о том, что валовой внутренний продукт характеризуется стационарными отклонениями от тренда, включающего постоянный темп роста. Тогда это можно смоделировать следующим образом:
где Ut предполагается стационарным процессом ошибок. Для оценки параметров γ и B, сначала берут натуральный логарифм (ln) обеих сторон этого уравнения:
Это логарифмически-линейное уравнение имеет ту же форму, что и предыдущее уравнение линейного тренда, и может быть детерминировано тем же способом, что дает оценку γ как детерминированное значение ln(y), а, следовательно, и оценку B как детерминированное значение γ, при условии, что можно отвергнуть гипотезу о нестационарности ln(y).
Квадратный тренд
Тенденции не обязательно должны быть линейными или логарифмически линейными. Например, переменная может демонстрировать квадратичную тенденцию:
Эту тенденцию можно линейно регрессировать по коэффициентам, используя t и t2 в качестве регрессоров; и снова, если остатки оказываются стационарными, то они представляют собой детрендированные значения исходной переменной.