Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В статистике вопрос проверки справедливости монеты важен, во-первых, тем, что предоставляет простую задачу для иллюстрации основных идей статистического вывода, а во-вторых, тем, что предоставляет простую задачу, которую можно использовать для сравнения различных конкурирующих методов статистического вывода, включая теорию принятия решений. Практическая задача проверки справедливости монеты может показаться легко решаемой путем проведения достаточно большого числа испытаний, однако статистика и теория вероятностей могут дать рекомендации по двум типам вопросов: в частности, о том, сколько испытаний следует провести и какова точность оценки вероятности выпадения орла, полученной на основе данной выборки испытаний. Справедливая монета – это идеализированное рандомизирующее устройство с двумя состояниями (обычно называемыми «орел» и «решка»), которые равновероятны. Она основана на подбрасывании монеты, широко используемом в спорте и других ситуациях, где требуется предоставить обеим сторонам равные шансы на победу. Используется либо специально разработанный жетон, либо, чаще, обычная монета, хотя последняя может быть слегка «несправедливой» из-за асимметричного распределения веса, что может приводить к более частому выпадению одной из сторон и, следовательно, давать одной из сторон несправедливое преимущество. Поэтому может потребоваться экспериментально проверить, действительно ли монета «справедлива», то есть, чтобы вероятность выпадения монеты любой стороной при подбрасывании составляла ровно 50%. Разумеется, невозможно исключить произвольно малые отклонения от справедливости, которые могут повлиять лишь на одно подбрасывание за всю жизнь; также всегда возможно, что несправедливая (или «смещенная») монета случайно выпадет орлом ровно 10 раз из 20 подбрасываний. Следовательно, любой тест на справедливость должен устанавливать лишь определенную степень уверенности в определенной степени справедливости (определенный максимальный сдвиг). В более строгой терминологии, задача заключается в определении параметров процесса Бернулли, основываясь только на ограниченной выборке испытаний Бернулли.
In statistics, the question of checking whether a coin is fair is one whose importance lies, firstly, in providing a simple problem on which to illustrate basic ideas of statistical inference and, secondly, in providing a simple problem that can be used to compare various competing methods of statistical inference, including decision theory. The practical problem of checking whether a coin is fair might be considered as easily solved by performing a sufficiently large number of trials, but statistics and probability theory can provide guidance on two types of question; specifically those of how many trials to undertake and of the accuracy of an estimate of the probability of turning up heads, derived from a given sample of trials. A fair coin is an idealized randomizing device with two states (usually named "heads" and "tails") which are equally likely to occur. It is based on the coin flip used widely in sports and other situations where it is required to give two parties the same chance of winning. Either a specially designed chip or more usually a simple currency coin is used, although the latter might be slightly "unfair" due to an asymmetrical weight distribution, which might cause one state to occur more frequently than the other, giving one party an unfair advantage. So it might be necessary to test experimentally whether the coin is in fact "fair" – that is, whether the probability of the coin's falling on either side when it is tossed is exactly 50%. It is of course impossible to rule out arbitrarily small deviations from fairness such as might be expected to affect only one flip in a lifetime of flipping; also it is always possible for an unfair (or "biased") coin to happen to turn up exactly 10 heads in 20 flips. Therefore, any fairness test must only establish a certain degree of confidence in a certain degree of fairness (a certain maximum bias). In more rigorous terminology, the problem is of determining the parameters of a Bernoulli process, given only a limited sample of Bernoulli trials.
Преамбула
В этой статье описываются экспериментальные процедуры для определения, является ли монета честной или нечестной. Существует множество статистических методов для анализа такой экспериментальной процедуры. В этой статье иллюстрируются два из них. Оба метода предусматривают эксперимент (или серию испытаний), в котором монета подбрасывается много раз, и результат каждого подбрасывания регистрируется. Полученные результаты затем могут быть статистически проанализированы, чтобы определить, является ли монета "честной" или "вероятно, нечестной". Функция плотности вероятности, или PDF (байесовский подход). Изначально истинная вероятность выпадения определенной стороны при подбрасывании монеты неизвестна, но неопределенность представляется "априорным распределением". Теория байесовского вывода используется для получения апостериорного распределения путем объединения априорного распределения и функции правдоподобия, которая отражает информацию, полученную в ходе эксперимента. Вероятность того, что данная монета является "честной", может быть получена путем интегрирования PDF апостериорного распределения по соответствующему интервалу, представляющему все вероятности, которые можно считать "честными" в практическом смысле. Оценка истинной вероятности (фреквентистский подход). Этот метод предполагает, что экспериментатор может решить подбросить монету любое количество раз. Экспериментатор сначала определяет требуемый уровень достоверности и допустимую погрешность. Эти параметры определяют минимальное количество подбрасываний, необходимое для завершения эксперимента. Важное различие между этими двумя подходами заключается в том, что первый подход учитывает предыдущий опыт подбрасывания монет, а второй – нет. Вопрос о том, какой вес придавать предыдущему опыту, в зависимости от его качества (надежности), обсуждается в рамках теории достоверности.
This article describes experimental procedures for determining whether a coin is fair or unfair. There are many statistical methods for analyzing such an experimental procedure. This article illustrates two of them. Both methods prescribe an experiment (or trial) in which the coin is tossed many times and the result of each toss is recorded. The results can then be analysed statistically to decide whether the coin is "fair" or "probably not fair". Posterior probability density function, or PDF (Bayesian approach). Initially, the true probability of obtaining a particular side when a coin is tossed is unknown, but the uncertainty is represented by the "prior distribution". The theory of Bayesian inference is used to derive the posterior distribution by combining the prior distribution and the likelihood function which represents the information obtained from the experiment. The probability that this particular coin is a "fair coin" can then be obtained by integrating the PDF of the posterior distribution over the relevant interval that represents all the probabilities that can be counted as "fair" in a practical sense. Estimator of true probability (Frequentist approach). This method assumes that the experimenter can decide to toss the coin any number of times. The experimenter first decides on the level of confidence required and the tolerable margin of error. These parameters determine the minimum number of tosses that must be performed to complete the experiment. An important difference between these two approaches is that the first approach gives some weight to one's prior experience of tossing coins, while the second does not. The question of how much weight to give to prior experience, depending on the quality (credibility) of that experience, is discussed under credibility theory.
Другие подходы
Другие подходы к вопросу проверки честности монеты доступны с использованием теории принятия решений, применение которой потребовало бы формулировки функции потерь или функции полезности, описывающей последствия конкретного решения. Подход, который не требует ни функции потерь, ни априорной вероятности (как в байесовском подходе), – это метод "приемочного контроля".
Other approaches to the question of checking whether a coin is fair are available using decision theory, whose application would require the formulation of a loss function or utility function which describes the consequences of making a given decision. An approach that avoids requiring either a loss function or a prior probability (as in the Bayesian approach) is that of "acceptance sampling".
Другие применения
Вышеуказанный математический анализ для определения честности монеты может также применяться в других областях. Например:
The above mathematical analysis for determining if a coin is fair can also be applied to other uses. For example:
Определение доли бракованных изделий для продукта, подвергающегося определенному (но четко заданному) условию. Иногда производство изделия может быть очень сложным или дорогим. Кроме того, если тестирование таких изделий приводит к их уничтожению, следует протестировать минимальное количество изделий. С помощью аналогичного анализа можно определить функцию плотности вероятности дефектности продукта. Опросы с двумя вариантами ответа. Если проводится небольшой случайный опрос с двумя взаимоисключающими вариантами выбора, это аналогично многократному подбрасыванию монеты, которая может быть смещенной. Соответственно, аналогичный анализ можно применить для определения степени достоверности фактического соотношения голосов. (Если избирателям разрешено воздерживаться, анализ должен учитывать это, и аналогия с подбрасыванием монеты становится менее точной.) Определение полового соотношения в большой популяции животных. При условии, что при случайной выборке из популяции отбирается небольшая случайная выборка (то есть небольшая по сравнению с общей численностью популяции), анализ аналогичен определению вероятности выпадения орла при подбрасывании монеты.
Determining the proportion of defective items for a product subjected to a particular (but well defined) condition. Sometimes a product can be very difficult or expensive to produce. Furthermore, if testing such products will result in their destruction, a minimum number of items should be tested. Using a similar analysis, the probability density function of the product defect rate can be found. Two party polling. If a small random sample poll is taken where there are only two mutually exclusive choices, then this is similar to tossing a single coin multiple times using a possibly biased coin. A similar analysis can therefore be applied to determine the confidence to be ascribed to the actual ratio of votes cast. (If people are allowed to abstain then the analysis must take account of that, and the coin flip analogy doesn't quite hold.) Determining the sex ratio in a large group of an animal species. Provided that a small random sample (i. e. small in comparison with the total population) is taken when performing the random sampling of the population, the analysis is similar to determining the probability of obtaining heads in a coin toss.