Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Статистикада монетаның әділ екендігін тексеру мәселесінің маңыздылығы, біріншіден, статистикалық қорытындының негізгі идеяларын көрсететін қарапайым мысал келтіруде, екіншіден, шешімдер теориясын қоса алғанда, статистикалық қорытындының әртүрлі бәсекелес әдістерін салыстыруға болатын қарапайым мәселені ұсынуда жатыр. Монетаның әділ екенін тексерудің практикалық мәселесі жеткілікті мөлшерде тәжірибелер жүргізу арқылы оңай шешілетіндей көрінеді, бірақ статистика және ықтималдықтар теориясы екі түрлі сұраққа жауап беруге көмектеседі: қанша тәжірибе жасау керек және тәжірибелердің берілген үлгісінен алынған, сырға (бас) түсу ықтималдығын бағалаудың дәлдігі қандай. Әділ монета – екі күйі (әдетте «сырға» және «құйрыққа» деп аталады) тең мүмкіндікпен болатын идеализированды, кездейсоқ құрылғы. Ол спортта және екі тарапқа жеңіске жеткізу үшін бірдей мүмкіндік беру қажеттілігі туындайтын басқа жағдайларда кеңінен қолданылатын монетаны лақтыруға негізделген. Көбінесе арнайы жасалған чип немесе қарапайым валюта монетасы қолданылады, бірақ соңғысы салмақтың симметриясыз таралуына байланысты сәл «әділ емес» болуы мүмкін, бұл бір күйдің екіншісінен жиірек пайда болуына және бір тарапқа әділетсіз артықшылық беруіне әкелуі мүмкін. Сондықтан, монетаның шын мәнінде «әділ» екенін – яғни, оны лақтырғанда екі жаққа да түсу ықтималдығының дәл 50% тең екенін тәжірибе жүзінде тексеру қажет болуы мүмкін. Әрине, өмір бойы бір лақтыруға ғана әсер ететіндей кез келген кішкентай бұрылыстарды толығымен жоққа шығару мүмкін емес; сондай-ақ, әділ емес (немесе «бұрыс») монетаның 20 рет лақтыруда дәл 10 рет сырға түсуі мүмкін. Сондықтан, кез келген әділдік сынағы белгілі бір деңгейде әділдікке сенімділік (белгілі бір максималды бұрыстық) орнатуы керек. Нақтырақ айтқанда, мәселе – Бернулли тәжірибелерінің шектеулі үлгісін ескере отырып, Бернулли процесінің параметрлерін анықтау болып табылады.
In statistics, the question of checking whether a coin is fair is one whose importance lies, firstly, in providing a simple problem on which to illustrate basic ideas of statistical inference and, secondly, in providing a simple problem that can be used to compare various competing methods of statistical inference, including decision theory. The practical problem of checking whether a coin is fair might be considered as easily solved by performing a sufficiently large number of trials, but statistics and probability theory can provide guidance on two types of question; specifically those of how many trials to undertake and of the accuracy of an estimate of the probability of turning up heads, derived from a given sample of trials. A fair coin is an idealized randomizing device with two states (usually named "heads" and "tails") which are equally likely to occur. It is based on the coin flip used widely in sports and other situations where it is required to give two parties the same chance of winning. Either a specially designed chip or more usually a simple currency coin is used, although the latter might be slightly "unfair" due to an asymmetrical weight distribution, which might cause one state to occur more frequently than the other, giving one party an unfair advantage. So it might be necessary to test experimentally whether the coin is in fact "fair" – that is, whether the probability of the coin's falling on either side when it is tossed is exactly 50%. It is of course impossible to rule out arbitrarily small deviations from fairness such as might be expected to affect only one flip in a lifetime of flipping; also it is always possible for an unfair (or "biased") coin to happen to turn up exactly 10 heads in 20 flips. Therefore, any fairness test must only establish a certain degree of confidence in a certain degree of fairness (a certain maximum bias). In more rigorous terminology, the problem is of determining the parameters of a Bernoulli process, given only a limited sample of Bernoulli trials.
Кіріспе
Бұл мақалада монетаның әділ немесе әділетсіз екенін анықтау үшін тәжірибелік процедуралар сипатталған. Мұндай тәжірибелік процедураны талдау үшін көптеген статистикалық әдістер бар. Бұл мақалада олардың екеуі көрсетілген. Екі әдіс те экспериментті (немесе сынақты) қарастырады, онда монета көп рет лақтырылады және әр лақтырудың нәтижесі тіркеледі. Нәтижелерді статистикалық түрде талдау арқылы монетаның "әділ" немесе "әділ емес" екеніне шешім қабылдауға болады. Постериорлық ықтималдық тығыздық функциясы немесе PDF (Бейес тәсілі). Бастапқыда, монетаны лақтырғанда белгілі бір жақтың шығу ықтималдығы белгісіз, бірақ бұл белгісіздік "алдын ала таралыммен" көрсетіледі. Бейес қорытынды теориясы эксперименттен алынған ақпаратты көрсететін алдын ала таралымды және ықтималдық функциясын біріктіру арқылы постериорлық таралымды алу үшін қолданылады. Осы нақты монетаның "әділ монета" болу ықтималдығын практикалық мағынада "әділ" деп есептелетін барлық ықтималдықты қамтитын тиісті аралықтағы постериорлық таралымның PDF-ін интеграциялау арқылы алуға болады. Шынайы ықтималдықты бағалаушы (Жиілік тәсілі). Бұл әдіс эксперимент жүргізушінің монетаны кез келген рет лақтыруға шешім қабылдай алатынын болжайды. Эксперимент жүргізуші алдымен қажетті сенімділік деңгейін және қабылданатын қателік маржасын анықтайды. Бұл параметрлер экспериментті аяқтау үшін орындалуы тиіс лақтырудың ең аз санын анықтайды. Бұл екі тәсілдің маңызды айырмашылығы – біріншісі монета лақтырудың бұрынғы тәжірибесіне салмақ береді, ал екіншісі бермейді. Бұрынғы тәжірибенің сапасына (сенімділігіне) байланысты, оған қаншалықты мән беру керектігі мәселесі сенімділік теориясы аясында талқыланады.
This article describes experimental procedures for determining whether a coin is fair or unfair. There are many statistical methods for analyzing such an experimental procedure. This article illustrates two of them. Both methods prescribe an experiment (or trial) in which the coin is tossed many times and the result of each toss is recorded. The results can then be analysed statistically to decide whether the coin is "fair" or "probably not fair". Posterior probability density function, or PDF (Bayesian approach). Initially, the true probability of obtaining a particular side when a coin is tossed is unknown, but the uncertainty is represented by the "prior distribution". The theory of Bayesian inference is used to derive the posterior distribution by combining the prior distribution and the likelihood function which represents the information obtained from the experiment. The probability that this particular coin is a "fair coin" can then be obtained by integrating the PDF of the posterior distribution over the relevant interval that represents all the probabilities that can be counted as "fair" in a practical sense. Estimator of true probability (Frequentist approach). This method assumes that the experimenter can decide to toss the coin any number of times. The experimenter first decides on the level of confidence required and the tolerable margin of error. These parameters determine the minimum number of tosses that must be performed to complete the experiment. An important difference between these two approaches is that the first approach gives some weight to one's prior experience of tossing coins, while the second does not. The question of how much weight to give to prior experience, depending on the quality (credibility) of that experience, is discussed under credibility theory.
Басқа тәсілдер
Монетаның әділ екендігін тексеру мәселесіне қатысты шешімдерді қабылдау теориясын қолдану арқылы басқа да тәсілдер бар. Оны қолдану үшін белгілі бір шешім қабылдаудың салдарына сипаттама беретін шығын немесе пайда функциясын анықтау қажет. Жоғалу функциясын немесе алдын ала ықтималдықты қажет етуді болдырмайтын тәсіл (Бейес тәсілі сияқты) – "қабылдау сынағы".
Other approaches to the question of checking whether a coin is fair are available using decision theory, whose application would require the formulation of a loss function or utility function which describes the consequences of making a given decision. An approach that avoids requiring either a loss function or a prior probability (as in the Bayesian approach) is that of "acceptance sampling".
Басқа қолданбалар
Жоғарыда келтірілген монетаның әділ екенін анықтауға арналған математикалық талдау басқа да қолданыстарда қолданылуы мүмкін. Мысалы:
The above mathematical analysis for determining if a coin is fair can also be applied to other uses. For example:
Нақты анықталған (бірақ белгілі) жағдайға ұшыраған өнімдегі кемшілдіктердің үлесін анықтау. Кейде өнімді өндіру өте қиын немесе қымбат болуы мүмкін. Сонымен қатар, егер мұндай өнімдерді сынау оларды жоюға әкелсе, сынау үшін кеміндегі саны ғана өнімдерді пайдалану керек. Осыған ұқсас талдау арқылы өнімдегі кемшілдік деңгейінің ықтималдық тығыздық функциясын табуға болады. Екі тарапты сауалнама. Егер екі ғана өзара байланыссыз таңдау бар болса және кішкентай кездейсоқ үлгі алынса, бұл ықтимал бұрмаланған монетаны бірнеше рет лақтыруға ұқсас. Сондықтан осыған ұқсас талдауды қолдану арқылы дауыс беру нәтижелерінің нақты қатынасына деген сенімділікті анықтауға болады. (Егер адамдарға дауыс беруден бас тартуға рұқсат берілсе, талдау мұны ескеруі керек, ал монета лақтыру аналогиясы толыққанды қолданылмайды.) Жануарлар түрінің ірі популяциясындағы жыныс арақатынасын анықтау. Егер популяцияның кездейсоқ үлгісін алу кезінде кішкентай кездейсоқ үлгі алынса (яғни, жалпы популяцияға қарағанда кішкентай), талдау монетаны лақтырғанда сыртқы бетінің шығу ықтималдығын анықтауға ұқсас.
Determining the proportion of defective items for a product subjected to a particular (but well defined) condition. Sometimes a product can be very difficult or expensive to produce. Furthermore, if testing such products will result in their destruction, a minimum number of items should be tested. Using a similar analysis, the probability density function of the product defect rate can be found. Two party polling. If a small random sample poll is taken where there are only two mutually exclusive choices, then this is similar to tossing a single coin multiple times using a possibly biased coin. A similar analysis can therefore be applied to determine the confidence to be ascribed to the actual ratio of votes cast. (If people are allowed to abstain then the analysis must take account of that, and the coin flip analogy doesn't quite hold.) Determining the sex ratio in a large group of an animal species. Provided that a small random sample (i. e. small in comparison with the total population) is taken when performing the random sampling of the population, the analysis is similar to determining the probability of obtaining heads in a coin toss.