Введение

Раздел численного анализа
академический журнал «Численные методы для уравнений в частных производных» — это область численного анализа, изучающая численное решение уравнений в частных производных (УЧП). Существуют специализированные методы для гиперболических, параболических или эллиптических уравнений в частных производных.

Метод конечных различий

В этом методе функции представляются их значениями в определенных точках сетки, а производные аппроксимируются с помощью разностей этих значений.

Метод линий

Метод линий (MOL, NMOL, NUMOL) — это метод решения уравнений в частных производных (PDEs), в котором дискретизуются все пространственные измерения, кроме одного. Метод линий позволяет использовать стандартные, универсальные методы и программное обеспечение, разработанные для численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и дифференциально-алгебраических уравнений (ДАУ). За годы существования метода было разработано множество рутин для интегрирования на различных языках программирования, некоторые из которых опубликованы как ресурсы с открытым исходным кодом. Чаще всего под методом линий понимают построение или анализ численных методов для уравнений в частных производных, который начинается с дискретизации только пространственных производных и сохранения временной переменной непрерывной. Это приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, к которой можно применить численный метод для решения задачи Коши. Метод линий в этом контексте берет свое начало, по крайней мере, в начале 1960-х годов.

Метод конечных элементов

Метод конечных элементов (FEM) — это численный метод для нахождения приближенных решений краевых задач для дифференциальных уравнений. Он использует вариационные методы (вариационное исчисление) для минимизации функционала ошибки и получения устойчивого решения. Подобно тому, как соединение множества малых отрезков прямой может аппроксимировать большую окружность, метод конечных элементов включает в себя все методы соединения множества простых уравнений элементов на множестве малых поддоменов, называемых конечными элементами, для аппроксимации более сложного уравнения на большей области.

Метод дискретизации градиента

Метод градиентной дискретизации (GDM) — это численный метод, объединяющий в себе несколько стандартных или современных подходов. Он основан на раздельном аппроксимировании функции и её градиента. Ключевые свойства обеспечивают сходимость метода для широкого класса линейных и нелинейных задач, и, следовательно, все методы, входящие в структуру GDM (конформный и неконформный метод конечных элементов, смешанный метод конечных элементов, миметические разностные схемы), наследуют эти свойства сходимости.

Метод конечного объема

Метод конечных объемов – это метод представления и решения частных дифференциальных уравнений в виде алгебраических уравнений [LeVeque, 2002; Toro, 1999]. Подобно методу конечных разностей или методу конечных элементов, значения вычисляются в дискретных точках на дискретизированной геометрии. "Конечный объем" относится к небольшому объему, окружающему каждую узловую точку сетки. В методе конечных объемов объемные интегралы в частном дифференциальном уравнении, содержащие член дивергенции, преобразуются в поверхностные интегралы с использованием теоремы о дивергенции. Затем эти члены вычисляются как потоки на гранях каждого конечного объема. Поскольку поток, входящий в данный объем, равен потоку, выходящему из смежного объема, эти методы обладают свойством сохранения. Еще одним преимуществом метода конечных объемов является возможность его легкой адаптации для работы с неструктурированными сетками. Метод широко используется в различных пакетах программ для вычислительной гидродинамики.

Спектровый метод

Спектральные методы — это техники, используемые в прикладной математике и научных вычислениях для численного решения определенных дифференциальных уравнений, часто с применением быстрого преобразования Фурье. Суть метода заключается в представлении решения дифференциального уравнения в виде суммы определенных "базисных функций" (например, ряда Фурье, представляющего собой сумму синусоид), и последующем выборе коэффициентов в этой сумме, обеспечивающих наилучшее удовлетворение дифференциальному уравнению. Спектральные методы и методы конечных элементов тесно связаны и основаны на общих принципах; основное различие состоит в том, что спектральные методы используют базисные функции, отличные от нуля на всей области определения, в то время как методы конечных элементов используют базисные функции, отличные от нуля только на небольших подмножествах. Иными словами, спектральные методы применяют глобальный подход, а методы конечных элементов — локальный. Отчасти благодаря этому спектральные методы обладают превосходными свойствами сходимости, в частности, так называемой "экспоненциальной сходимостью", которая является максимально возможной при гладком решении. Однако, на данный момент не существует известных результатов захвата ударных волн в трехмерной области с использованием однодоменных спектральных методов. В сообществе специалистов по методам конечных элементов метод, в котором степень элементов очень высока или возрастает при уменьшении параметра сетки h к нулю, иногда называют методом спектральных элементов.

Методы без сетки

Методы, не требующие использования сетки, не нуждаются в сетке, соединяющей точки данных области моделирования. Методы, не требующие использования сетки, позволяют моделировать некоторые типы задач, которые было бы сложно решить иным способом, но требуют большего вычислительного времени и усилий по программированию.

Методы разложения доменов

Методы разложения доменов решают задачу с краевыми условиями, разбивая её на более мелкие задачи с краевыми условиями на поддоменах и итеративно согласовывая решение между соседними поддоменами. Для дальнейшего согласования решения между поддоменами в глобальном масштабе используется грубая задача с одним или несколькими неизвестными на поддомен. Задачи на поддоменах независимы, что делает методы разложения доменов подходящими для параллельных вычислений. Методы разложения доменов обычно используются в качестве предварительных решателей для итеративных методов пространства Крылова, таких как метод сопряжённых градиентов или GMRES. В методах разложения доменов с перекрытием поддомены перекрываются больше, чем интерфейс. Методы разложения доменов с перекрытием включают в себя метод Шварца и аддитивный метод Шварца. Многие методы разложения доменов могут быть представлены и проанализированы как частный случай абстрактного аддитивного метода Шварца. В методах без перекрытия поддомены пересекаются только на их интерфейсе. В прямых методах, таких как балансирующее разложение доменов и BDDC, непрерывность решения на границе между поддоменами обеспечивается представлением значения решения на всех соседних поддоменах одним и тем же неизвестным. В двойных методах, таких как FETI, непрерывность решения на границе между поддоменами обеспечивается множителями Лагранжа. Метод FETI DP является гибридом прямого и двойного метода. Методы разложения доменов без перекрытия также называются итеративными методами субструктурирования. Методы "mortar" – это методы дискретизации для уравнений в частных производных, использующие отдельную дискретизацию на неперекрывающихся поддоменах. Сетки на поддоменах не совпадают на интерфейсе, и равенство решения обеспечивается множителями Лагранжа, тщательно подобранными для сохранения точности решения. В инженерной практике, при использовании метода конечных элементов, непрерывность решений между несовпадающими поддоменами реализуется с помощью многоточечных ограничений. Конечно-элементное моделирование моделей умеренного размера требует решения линейных систем с миллионами неизвестных. Несколько часов на временной шаг – типичное последовательное время вычислений, поэтому параллельные вычисления необходимы. Методы разложения доменов обладают большим потенциалом для параллелизации методов конечных элементов и служат основой для распределённых параллельных вычислений.

Многосетевые методы

Многосеточные (МС) методы в численном анализе – это группа алгоритмов для решения дифференциальных уравнений с использованием иерархии дискретизаций. Они являются примером класса методов, называемых многоразрешающими методами, очень полезными в (но не ограничивающихся) задачах, демонстрирующих множественные масштабы поведения. Например, многие базовые методы релаксации показывают различные скорости сходимости для коротковолновых и длинноволновых компонент, что указывает на необходимость различной обработки этих масштабов, как в подходе, основанном на Фурье-анализе для многосеточных методов. МС-методы могут использоваться как решатели, так и предварительные решатели. Основная идея многосеточных методов заключается в ускорении сходимости базового итерационного метода за счет периодической глобальной коррекции, достигаемой путем решения задачи на грубой сетке. Этот принцип аналогичен интерполяции между более грубыми и более тонкими сетками. Типичное применение многосеточных методов – численное решение эллиптических уравнений в частных производных в двух или более измерениях. Многосеточные методы могут применяться в сочетании с любыми распространенными методами дискретизации. Например, метод конечных элементов может быть реализован как многосеточный метод. В этих случаях многосеточные методы являются одними из самых быстрых известных методов решения. В отличие от других методов, многосеточные методы являются универсальными, поскольку они могут обрабатывать произвольные области и граничные условия. Они не зависят от разделимости уравнений или других специальных свойств уравнения. Они также широко используются для более сложных несимметричных и нелинейных систем уравнений, таких как система упругости Ламе или уравнения Навье-Стокса.

Сравнение

Метод конечных разностей часто считается самым простым в освоении и применении. Методы конечных элементов и конечных объемов широко используются в инженерии и вычислительной гидродинамике и хорошо подходят для задач в сложных геометрических областях. Спектральные методы, как правило, обладают наибольшей точностью, при условии достаточной гладкости решений.