Введение

Методы, используемые для нахождения численных решений обыкновенных дифференциальных уравнений

Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений – это методы, применяемые для получения численных приближений решений обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Их применение также известно как "численное интегрирование", хотя этот термин может относиться и к вычислению интегралов. Многие дифференциальные уравнения не имеют точного решения. Однако для практических целей, например в инженерии, часто достаточно численного приближения к решению. Алгоритмы, рассматриваемые здесь, позволяют вычислить такое приближение. Альтернативным подходом является использование методов математического анализа для получения ряда, представляющего решение. Обыкновенные дифференциальные уравнения возникают во многих областях науки, включая физику, химию, биологию и экономику. Кроме того, некоторые методы численного решения уравнений в частных производных сводят уравнение в частных производных к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое затем необходимо решить.

Методы

Численные методы решения ИВП первого порядка часто относятся к одной из двух больших категорий: линейные многоступенчатые методы или методы Рунге-Кутты. Дальнейшее разделение можно осуществить, разделив методы на явные и неявные. Например, к неявным линейным многоступенчатым методам относятся методы Адамса-Молтона и методы обратной дифференциации (BDF), а к неявным методам Рунге-Кутты – диагонально неявные методы Рунге-Кутты (DIRK), однодиагонально неявные методы Рунге-Кутты (SDIRK) и методы Гаусса-Радуа (основанные на гауссовой квадратуре). Явными примерами из семейства линейных многоступенчатых методов являются методы Адамса-Бэшфорта, а любой метод Рунге-Кутты с нижней треугольной таблицей Бутчера является явным. Распространенное эмпирическое правило гласит, что для жестких дифференциальных уравнений требуется использование неявных схем, в то время как нежесткие задачи можно решать более эффективно с помощью явных схем. Так называемые общие линейные методы (GLM) представляют собой обобщение двух вышеупомянутых больших классов методов.

Альтернативные методы

Многие методы не входят в рамки, обсуждаемые здесь. Некоторые классы альтернативных методов: многопроизводные методы, использующие не только функцию f, но и её производные. В этот класс входят методы Гермита — Обрешкофа и методы Фельберга, а также методы, такие как метод Паркера — Сочацкого или метод Бычкова — Шербакова, которые рекурсивно вычисляют коэффициенты ряда Тейлора решения y. Методы для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Мы упомянули, что все обыкновенные дифференциальные уравнения высшего порядка можно привести к обыкновенным дифференциальным уравнениям первого порядка вида (1). Хотя это, безусловно, верно, это не всегда оптимальный подход. В частности, методы Нистрёма работают непосредственно с уравнениями второго порядка. Геометрические методы интегрирования специально разработаны для особых классов обыкновенных дифференциальных уравнений (например, симплектические интеграторы для решения гамильтоновых уравнений). Они обеспечивают сохранение структуры или геометрии, присущей этим классам, в численном решении. Методы квантованных систем состояний — это семейство методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, основанных на идее квантования состояний. Они эффективны при моделировании разреженных систем с частыми разрывами.

Параллельные методы

Некоторые задачи начальных значений (IVP) требуют интегрирования с таким высоким временным разрешением и/или на протяжении столь длительных временных интервалов, что классические последовательные методы временной дискретизации становятся вычислительно нереализуемыми для работы в реальном времени (например, IVP, возникающие в численном прогнозировании погоды, моделировании плазмы и молекулярной динамике). Методы параллельного во времени (PinT) были разработаны в ответ на эти проблемы с целью сокращения времени выполнения моделирования за счет использования параллельных вычислений. Ранние методы PinT (первые из которых были предложены в 1960-х годах) первоначально оставались незамеченными исследователями из-за того, что необходимые для их реализации параллельные вычислительные архитектуры еще не были широко доступны. С увеличением вычислительной мощности интерес к ним возродился в начале 2000-х годов с разработкой Parareal – гибкого и простого в использовании алгоритма PinT, подходящего для решения широкого круга задач начальных значений. Развитие экзамасштабных вычислений привело к тому, что алгоритмы PinT привлекают все большее внимание исследователей и разрабатываются таким образом, чтобы использовать возможности самых мощных суперкомпьютеров в мире. К 2023 году наиболее популярными методами являются Parareal, PFASST, ParaDiag и MGRIT.

Сближение

Численный метод называется сходящимся, если численное решение приближается к точному решению при стремлении размера шага h к 0. Более точно, мы требуем, чтобы для каждого ОДУ (1) с функцией Липшица f и для каждого t* > 0,

Все вышеупомянутые методы являются сходящимися.

Стабильность и жесткость

Для некоторых дифференциальных уравнений применение стандартных методов, таких как метод Эйлера, явные методы Рунге — Кутты или многошаговые методы (например, методы Адамса — Башфорта), приводит к неустойчивости решений, хотя другие методы могут давать стабильные решения. Это "трудное поведение" уравнения (которое само по себе не обязательно является сложным) описывается как жёсткость и часто вызывается наличием различных временных масштабов в исходной задаче. Например, столкновение в механической системе, таком как ударный осциллятор, обычно происходит в гораздо меньшем временном масштабе, чем время движения объектов; это расхождение приводит к очень резким изменениям в кривых параметров состояния. Жёсткие задачи широко распространены в химической кинетике, теории управления, механике сплошных сред, прогнозировании погоды, биологии, физике плазмы и электронике. Один из способов преодоления жёсткости — расширить понятие дифференциального уравнения до понятия дифференциального включения, которое допускает и моделирует отсутствие гладкости.

История

Ниже представлена хронология некоторых важных событий в этой области. 1768 Леонард Эйлер публикует свой метод. 1824 Огюстен Луи Коши доказывает сходимость метода Эйлера. В этом доказательстве Коши использует неявный метод Эйлера. 1855 Первое упоминание многошаговых методов Джона Коуча Адамса в письме, написанном Фрэнсисом Башфортом. 1895 Карл Рунге публикует первый метод Рунге — Кутты. 1901 Мартин Кутта описывает популярный метод Рунге — Кутты четвёртого порядка. 1910 Льюис Фрай Ричардсон объявляет о своём методе экстраполяции, экстраполяции Ричардсона. 1952 Чарльз Ф. Кертисс и Джозеф Оукленд Хиршфельдер вводят термин «жесткие уравнения». 1963 Гермунд Дальквист вводит понятие A-устойчивости методов интегрирования.