Введение

Релятивистский эффект, обусловленный вращением

Эффект Сагнака, также называемый интерференцией Сагнака, названный в честь французского физика Жоржа Сагнака, – это явление, встречающееся в интерферометрии и возникающее при вращении. Эффект Сагнака проявляется в установке, называемой кольцевым интерферометром или интерферометром Сагнака. Луч света разделяется, и два луча проходят по одному и тому же пути, но в противоположных направлениях. По возвращении в точку входа два световых луча выходят из кольца и подвергаются интерференции. Относительные фазы двух выходящих лучей, и, следовательно, положение интерференционных полос, сдвигаются в соответствии с угловой скоростью аппарата. Иными словами, когда интерферометр неподвижен относительно неповоротной системы отсчета, свету требуется одинаковое время для прохождения кольца в любом направлении. Однако, когда система интерферометра вращается, один луч света проходит более длинный путь, чем другой, чтобы завершить один оборот механической системы, и, следовательно, требует больше времени, что приводит к разности фаз между двумя лучами. Жорж Сагнак провел этот эксперимент в 1913 году в попытке доказать существование эфира, который теория специальной относительности Эйнштейна делает ненужным. Первое описание эффекта Сагнака в рамках специальной теории относительности было дано Максом фон Лауэ в 1911 году, за два года до эксперимента Сагнака. Продолжая теоретические работы Микельсона (1904), фон Лауэ ограничился инерциальной системой отсчета (которую он назвал "действительной" системой отсчета) и в сноске написал: "Система, вращающаяся относительно действительной системы, не является действительной". Сагнак считал, что его результаты являются доказательством существования неподвижного эфира. Однако, как было объяснено выше, фон Лауэ уже в 1911 году показал, что этот эффект согласуется со специальной теорией относительности. В 1911 году. Эксперимент Харресса был направлен на измерение френелевского сопротивления света, распространяющегося через движущееся стекло. Не зная об эффекте Сагнака, Харресс обнаружил наличие "неожиданной систематической погрешности" в своих измерениях, но не смог объяснить ее причину. Анализ результатов Харресса содержал ошибку, и они были повторно проанализированы в 1914 году Полом Харцером, который утверждал, что результаты противоречат специальной теории относительности. Это было опровергнуто Эйнштейном. Сам Харрес умер во время Первой мировой войны, и его результаты не были опубликованы до тех пор, пока фон Лауэ не убедил Отто Кнопфа, помощником которого был Харрес, опубликовать их в 1920 году. Результаты Харресса были опубликованы вместе с анализом фон Лауэ, который показал роль эффекта Сагнака в эксперименте. Из этих координат можно вывести разное время прибытия встречных лучей, эффект, показанный Полем Ланжевеном (1921). Или, когда эти координаты используются для вычисления глобальной скорости света во вращающихся системах отсчета, получаются различные кажущиеся скорости света в зависимости от ориентации, эффект, показанный Ланжевеном в другой статье (1937). Это не противоречит специальной теории относительности и вышеуказанному объяснению фон Лауэ, что скорость света не зависит от ускорения. Поскольку эта кажущаяся переменная скорость света во вращающихся системах отсчета возникает только при использовании вращающихся координат, в то время как если эффект Сагнака описывается с точки зрения внешней инерциальной системы отсчета, скорость света, конечно, остается постоянной, поэтому эффект Сагнака возникает независимо от того, используются ли инерциальные координаты (см. формулы в разделе ниже) или вращающиеся координаты (см. формулы в разделе ниже). То есть, специальная теория относительности в своей первоначальной формулировке была адаптирована к инерциальным системам отсчета, а не к вращающимся. Альберт Эйнштейн в своей работе, представляющей специальную теорию относительности, заявил: "Свет всегда распространяется в пустом пространстве с определенной скоростью c, которая не зависит от состояния движения излучающего тела". Эйнштейн специально указал, что скорость света постоянна только в вакууме пустого пространства, используя уравнения, которые справедливы только в линейных и параллельных инерциальных системах отсчета. Однако, когда Эйнштейн начал исследовать ускоренные системы отсчета, он заметил, что "принцип постоянства скорости света должен быть модифицирован" для ускоряющихся систем отсчета. Макс фон Лауэ в своей статье 1920 года серьезно рассмотрел влияние общей теории относительности на эффект Сагнака, заявив: "Общая теория относительности, конечно, могла бы дать некоторые утверждения об этом, и мы хотим сначала показать, что, согласно ей, не ожидается заметного влияния ускорения". Он приводит сноску относительно обсуждений с немецким физиком Вильгельмом Вином. Кроме того, Ирвин Шапиро в 1964 году объяснил общую теорию относительности, сказав: "Скорость световой волны зависит от силы гравитационного потенциала вдоль ее пути". Это называется задержкой Шапиро. Однако, поскольку гравитационное поле должно быть значительным, Лауэ (1920) пришел к выводу, что более вероятно, что эффект является результатом изменения расстояния пути из-за его движения в пространстве. В 1926 году амбициозный эксперимент с кольцевой интерферометрией был проведен Альбертом Микельсоном и Генри Гейлом. Целью было выяснить, оказывает ли вращение Земли влияние на распространение света вблизи Земли. Эксперимент Микельсона–Гейла–Пирсона представлял собой очень большой кольцевой интерферометр (периметр 1,9 километра), достаточно большой для обнаружения угловой скорости Земли. Результатом эксперимента стало подтверждение угловой скорости Земли, измеренной астрономией, в пределах точности измерений. Кольцевой интерферометр эксперимента Микельсона–Гейла не был откалиброван путем сравнения с внешней системой отсчета (что было невозможно, поскольку установка была закреплена на Земле). Из его конструкции можно было вывести, где должна находиться центральная интерференционная полоса, если бы смещение было нулевым. Измеренное смещение составило 230 частей на 1000 с точностью 5 частей на 1000. Предсказанное смещение составило 237 частей на 1000. Эффект Сагнака стимулировал вековой спор о его значении и интерпретации. Наиболее простое выведение относится к круговому кольцу радиуса R с показателем преломления, равным единице, вращающемуся с угловой скоростью ω, но результат является общим для контурных геометрий другой формы. Если источник света излучает в обоих направлениях из одной точки на вращающемся кольце, свет, движущийся в том же направлении, что и вращение, должен пройти более одного оборота вокруг кольца, прежде чем догонит источник света сзади. Время t, необходимое для того, чтобы догнать источник света, дается выражением:

где s – расстояние (черная жирная стрелка на рис. 3), которое прошло зеркало за то же время:

Исключая s из двух приведенных выше уравнений, получаем:

Аналогично, свет, движущийся в противоположном направлении вращения, пройдет менее одного оборота, прежде чем достигнет источника света спереди. Таким образом, время для этого направления света, чтобы снова достичь движущегося источника, равно:

Разность во времени равна:

Для малых ω это сводится к:

где A – площадь кольца. Хотя это простое выведение относится к круговому кольцу с показателем преломления, равным единице, результат справедлив для любой формы вращающегося контура с площадью A (рис. 4).

Для более сложных форм или других значений показателя преломления тот же результат можно получить, вычислив оптический сдвиг фаз в каждом направлении, используя принцип Ферма, и учитывая различные скорости фаз для разных направлений распространения в инерциальной лабораторной системе отсчета, которые можно вычислить, используя релятивистское сложение скоростей. Мы представляем себе экран для наблюдения за интерференционными полосами, расположенный у источника света (или используем разделитель луча для направления света от точки источника к экрану). При наличии стационарного источника света на экране образуются интерференционные полосы со смещением полос, пропорциональным разнице во времени, необходимой для t...

Обобщенная формула

Предложены модифицированные версии эксперимента, в которых источнику света разрешено двигаться вдоль (не обязательно кругового) светового пути. Эта конфигурация вносит дополнительную причину для возникновения разницы фаз: согласно источнику света, два сигнала теперь проходят разные пути в пространстве. Некоторые авторы называют этот эффект эффектом Сагнака, хотя в этом случае расхождение не обязательно связано с тем, что линии одновременности не образуют замкнутые контуры. Пример модифицированной конфигурации показан на рис. 5. Измеренная разница фаз как в стандартном волоконно-оптическом гироскопе (слева), так и в модифицированном волоконно-оптическом конвейере (справа) соответствует уравнению Δt = 2vL/c², вывод которого основан на постоянстве скорости света. Из этой формулы следует, что общая задержка времени равна суммарной задержке вдоль всей длины волокна, независимо от того, находится ли волокно во вращающейся секции конвейера или в прямой секции. Однако это уравнение недействительно, если траектория источника света в пространстве не совпадает с траекторией световых сигналов, например, в стандартном случае вращающейся платформы (FOG) с нециркулярным световым путем. В этом случае формула для разности фаз обязательно включает площадь, ограниченную световым путем, в соответствии с теоремой Стокса. В частном случае, когда волокно движется как твердое тело с угловой частотой ω, скорость v, а линейный интеграл можно выразить через площадь контура: это дает формулу Сагнака для кольцевых интерферометров произвольной формы и геометрии. Если также допустить растяжение, можно получить формулу интерференции Физо. В случае интерферометра Сагнака разница во времени прибытия измеряется путем создания интерференционных полос и наблюдения за их смещением. В случае ретрансляции импульсов по всему миру разница во времени прибытия определяется непосредственно по фактическому времени прибытия импульсов. В обоих случаях механизм возникновения разницы во времени прибытия один и тот же: эффект Сагнака. Эксперимент Хафеле — Китинга также рассматривается как аналог физики эффекта Сагнака. Способ транспортировки (дальние авиаперелеты) приводил к собственным эффектам замедления времени, и для разделения различных вкладов потребовались вычисления. Для (теоретического) случая часов, которые транспортируются настолько медленно, что эффекты замедления времени, вызванные транспортировкой, пренебрежимо малы, разница во времени между часами по возвращении в исходную точку будет равна разнице во времени, обнаруженной для ретрансляции импульсов, совершивших кругосветное путешествие: 207 наносекунд.

Практическое применение

Эффект Сагнака применяется в современных технологиях. Одно из применений – в инерциальных системах навигации. Кольцевые лазерные гироскопы крайне чувствительны к вращениям, которые необходимо учитывать для получения точных результатов в инерциальной системе навигации. Кольцевой лазер также способен определять звездные сутки, которые также можно назвать "режим 1". Глобальные навигационные спутниковые системы (GNSS), такие как GPS, GLONASS, COMPASS или Galileo, должны учитывать вращение Земли при использовании радиосигналов для синхронизации времени.

Кольцевые лазеры

Волокнооптические гироскопы иногда называют «пассивными кольцевыми интерферометрами». Пассивный кольцевой интерферометр использует свет, входящий в установку извне. Получаемая интерференционная картина представляет собой интерференционную картину с полосами, и измеряется фазовый сдвиг. Также возможно создать самодостаточный кольцевой интерферометр, основанный на совершенно иной схеме. Он называется кольцевым лазером или кольцевым лазерным гироскопом. Свет генерируется и поддерживается за счет включения лазерного возбуждения в траекторию света. Чтобы понять, что происходит в кольцевой лазерной резонаторе, полезно рассмотреть физику лазерного процесса в лазерной установке с непрерывной генерацией света. При запуске лазерного возбуждения молекулы внутри резонатора излучают фотоны, но поскольку молекулы обладают тепловой скоростью, свет внутри лазерного резонатора сначала представляет собой диапазон частот, соответствующий статистическому распределению скоростей. Процесс вынужденного излучения заставляет одну частоту быстро доминировать над другими, после чего свет становится почти монохроматическим. Для упрощения предположим, что все излучаемые фотоны излучаются в направлении, параллельном кольцу. Рисунок 7 иллюстрирует эффект вращения кольцевого лазера. В линейном лазере целое число длин волн укладывается в длину лазерного резонатора. Это означает, что при движении туда и обратно лазерный свет проходит целое число циклов своей частоты. В случае кольцевого лазера то же самое применимо: количество циклов частоты лазерного света одинаково в обоих направлениях. Это свойство одинакового числа циклов в обоих направлениях сохраняется при вращении кольцевой лазерной установки. Изображение показывает, что происходит сдвиг длины волны (следовательно, сдвиг частоты) таким образом, чтобы количество циклов оставалось одинаковым в обоих направлениях распространения. Путем наложения двух частот лазерного света можно получить частоту биений; частота биений – это разность между двумя частотами. Эту частоту можно рассматривать как интерференционную картину во времени (в то время как более привычные интерференционные полосы интерферометрии представляют собой пространственную картину). Период этой частоты биений линейно пропорционален угловой скорости кольцевого лазера относительно инерциального пространства. Это принцип работы кольцевого лазерного гироскопа, широко используемого в современных инерциальных навигационных системах.

Калибровка нулевой точки

В пассивных кольцевых интерферометрах смещение интерференционной картины пропорционально первой производной углового положения; требуется тщательная калибровка для определения смещения, соответствующего нулевой угловой скорости установки кольцевого интерферометра. С другой стороны, кольцевые лазерные интерферометры не требуют калибровки для определения сигнала, соответствующего нулевой угловой скорости. Кольцевые лазерные интерферометры самокалибруются. Частота биений будет равна нулю тогда и только тогда, когда кольцевая лазерная установка не вращается относительно инерциальной системы отсчета. Рисунок 8 иллюстрирует физическое свойство, обеспечивающее самокалибровку кольцевого лазерного интерферометра. Серые точки представляют молекулы в лазерной полости, выполняющие роль резонаторов. Вдоль каждого участка кольцевой полости скорость света одинакова в обоих направлениях. Когда кольцевое лазерное устройство вращается, оно вращается относительно этой системы отсчета. Иными словами: инвариантность скорости света служит основой для самокалибрующей способности кольцевого лазерного интерферометра.

Закрытие

Кольцевые лазерные гироскопы подвержены эффекту, известному как "захват" при низких скоростях вращения (менее 100°/ч). При очень низких скоростях вращения частоты встречно распространяющихся лазерных мод становятся почти одинаковыми. В этом случае перекрестные помехи между встречными лучами могут приводить к фазовой синхронизации, в результате чего стоячая волна "застревает" в предпочтительной фазе, фиксируя частоту каждого луча относительно друг друга, а не реагируя на медленное вращение. Путем быстрого (сотни герц) возвратно-поступательного отклонения лазерного резонатора на небольшой угол, захват происходит лишь в кратковременные моменты, когда скорость вращения близка к нулю; ошибки, возникающие при этом, приблизительно компенсируют друг друга в чередующихся периодах неподвижности.

Гироскопы из волоконно-оптических излучений против лазерных гироскопов

Волоконно-оптические гироскопы (FOG) и кольцевые лазерные гироскопы (RLG) работают, отслеживая разницу во времени распространения между лучами света, движущимися по часовой стрелке и против часовой стрелки по замкнутому оптическому тракту. Они значительно различаются по стоимости, надежности, размерам, весу, энергопотреблению и другим характеристикам производительности, которые необходимо учитывать при выборе между этими технологиями для конкретного применения. RLG требуют прецизионной механической обработки, использования прецизионных зеркал и сборки в условиях чистой комнаты. Их механические системы дрейфа незначительно увеличивают вес, но не существенно. RLG способны работать более 100 000 часов в условиях, близких к комнатной температуре. Их лазеры потребляют относительно много энергии. Интерферометрические FOG полностью твердотельные, не требуют механических компонентов дрейфа, не нуждаются в прецизионной обработке, имеют гибкую геометрию и могут быть очень компактными. Они используют множество стандартных компонентов из телекоммуникационной отрасли. Кроме того, основные оптические компоненты FOG продемонстрировали высокую надежность в телекоммуникационной отрасли, с ресурсом, измеряемым десятилетиями. Однако сборка нескольких оптических компонентов в прецизионный гироскопический прибор является дорогостоящей. Аналоговые FOG обеспечивают минимальную стоимость, но имеют ограниченную производительность; цифровые FOG предлагают широкий динамический диапазон и точную коррекцию масштабного фактора, необходимые для ответственных применений. Использование более длинных и крупных катушек повышает чувствительность, но также увеличивает чувствительность к изменениям температуры и вибрациям.

Интерферометр Сагнака с нулевой площадью и детектор гравитационных волн

Топология Сагнака была впервые описана Микельсоном в 1886 году, который использовал вариант с чётным отражением этого интерферометра при повторении эксперимента Физо. Микельсон отметил исключительную стабильность интерференционной картины, создаваемой этой формой интерферометра: белые интерференционные полосы наблюдались сразу после выравнивания зеркал. В интерферометрах с двумя оптическими путями получить белые интерференционные полосы сложно, поскольку длины этих путей должны совпадать с точностью до нескольких микрометров (длины когерентности белого света). Однако, являясь интерферометром с общим оптическим путём, конфигурация Сагнака по своей природе обеспечивает совпадение длин обоих путей. Микельсон также заметил, что интерференционная картина остаётся стабильной даже при поднесении зажжённой спички под оптический путь; в большинстве интерферометров полосы сильно смещались бы из-за флуктуаций показателя преломления в тёплом воздухе над спичкой. Интерферометры Сагнака практически нечувствительны к смещениям зеркал или разделителя луча. Эта особенность топологии Сагнака обусловила их применение в задачах, требующих исключительно высокой стабильности. Сдвиг интерференционной картины в интерферометре Сагнака, вызванный вращением, имеет величину, пропорциональную площади, ограниченной световым путём, и эта площадь должна быть определена относительно оси вращения. Таким образом, знак площади контура меняется при изменении направления обхода контура (по часовой стрелке или против часовой стрелки). Следовательно, световой путь, включающий контуры в обоих направлениях, имеет результирующую площадь, равную разности площадей контуров, обходимых по часовой стрелке и против часовой стрелки. Особый случай, когда два контура равны по площади, но противоположны по направлению, называется интерферометром Сагнака с нулевой площадью. В результате получается интерферометр, сочетающий стабильность топологии Сагнака и нечувствительность к вращению. Одно из конкурирующих предложений основано на конструкции интерферометра Сагнака с нулевой площадью. При световом пути, состоящем из двух контуров одинаковой площади, но в противоположных направлениях, достигается эффективная площадь, равная нулю, что приводит к подавлению эффекта Сагнака в его обычном понимании. Хотя эта конфигурация нечувствительна к низкочастотному дрейфу зеркал, изменению частоты лазера, дисбалансу отражения между плечами и термоиндуцированному двойному лучепреломлению, она всё же чувствительна к прохождению гравитационных волн на частотах, представляющих астрономический интерес. Однако при выборе оптической системы необходимо учитывать множество факторов, и, несмотря на преимущества интерферометра Сагнака в определенных областях, единого мнения относительно выбора оптической системы для LIGO третьего поколения пока не достигнуто.