Введение

Произведение простых чисел плюс один
В математике, числа Евклида — это целые числа вида 1 = En = pn# + 1, где pn# — это n-й примориал, то есть произведение первых n простых чисел. Они названы в честь древнегреческого математика Евклида в связи с теоремой Евклида о бесконечности множества простых чисел.

Примеры

Например, первые три простых числа — 2, 3, 5; их произведение равно 30, а соответствующее число Евклида — 31. Первые несколько чисел Евклида — 3, 7, 31, 211, 2311, 30031, 510511, 9699691, 223092871, 6469693231, 200560490131.

История

Иногда ложно утверждается, что знаменитое доказательство Евклида бесконечности простых чисел опиралось на эти числа. Евклид не начинал с предположения, что множество всех простых чисел конечно. Скорее, он сказал: рассмотрите любое конечное множество простых чисел (он не предполагал, что оно содержит только первые n простых чисел, например, это могло быть произвольным) и рассуждал оттуда, чтобы прийти к выводу, что существует по крайней мере одно простое число, не входящее в это множество. Тем не менее, аргумент Евклида, примененный к множеству первых n простых чисел, показывает, что n-е число Евклида имеет простой делитель, не входящий в это множество.

Свойства

Не все числа Евклида являются простыми. E6 = 13# + 1 = 30031 = 59 × 509 – первое составное число Евклида. Каждое число Евклида сравнимо с 3 по модулю 4, поскольку примириал, из которого оно составлено, в два раза больше произведения только нечетных простых чисел и, следовательно, сравнимо с 2 по модулю 4. Это свойство влечет за собой, что ни одно число Евклида не может быть полным квадратом. Для всех n ≥ 3 последняя цифра En равна 1, так как En − 1 делится на 2 и 5. Иными словами, поскольку все примириалы, большие E2, имеют 2 и 5 в качестве простых множителей, они делятся на 10, таким образом, все En ≥ 3 + 1 заканчиваются цифрой 1.

Нерешенные проблемы

Неизвестно, существует ли бесконечное количество простых чисел Евклида (простых примальных чисел). Также неизвестно, является ли каждое число Евклида без квадратов.

Обобщение

Евклидово число второго рода (также называемое числом Куммера) — это целое число вида En = pn# − 1, где pn# является n-м примориалом. Первые несколько таких чисел: 1, 5, 29, 209, 2309, 30029, 510509, 9699689, 223092869, 6469693229, 200560490129.

Как и в случае с числами Евклида, неизвестно, существует ли бесконечно много простых чисел Куммера. Первым из этих чисел, являющимся составным, является 209.