Кіріспе

Жақсы сандардың көбейтіндісі, плюс бір. Математикада Евклид сандары 1=En = pn# + 1 түріндегі бүтін сандар болып табылады, мұнда pn# – n-ші жақсы сан, яғни алғашқы n жақсы санның көбейтіндісі. Олар ежелгі грек математигі Евклидтің атымен аталады, Евклидтің жақсы сандар шексіз көп екенін айтатын теоремасымен байланысты.

Мысалдар

Мысалы, алғашқы үш жай сан 2, 3, 5; олардың көбейтіндісі 30-ға тең, ал сәйкес Евклид саны 31-ге тең. Алғашқы бірнеше Евклид сандары 3, 7, 31, 211, 2311, 30031, 510511, 9699691, 223092871, 6469693231, 200560490131 болып табылады.

Тарих

Кейде Евклидтің жай сандардың шексіздігін дәлелдеуі осы сандарға негізделген деген қате пікір таратылады. Евклид жай сандар жиыны шекті деп есептемей бастады. Керісінше, ол: кез келген шекті жай сандар жиынын қарастырайық (ол тек алғашқы n жай санын ғана қамтыды деп ойлаған жоқ, мысалы, ол басқа да болуы мүмкін еді) және осы жиынға кірмейтін кем дегенде бір жай сан бар деген қорытындыға келді. Дегенмен, Евклидтің дәлелі алғашқы n жай сандар жиынына қолданғанда, n-ші Евклид санының осы жиынға кірмейтін жай көбейткіші бар екенін көрсетеді.

Қасиеттері

Евклидтік сандардың бәрі жай сан емес. E6 = 13# + 1 = 30031 = 59 × 509 – бірінші құрама Евклидтік сан. Кез келген Евклидтік сан 4-ке бөлінгенде 3 қалдық береді, себебі одан құралған примориал жұп емес жай сандардың көбейтіндісінің екі еселенгеніне тең, демек 4-ке бөлінгенде 2 қалдық береді. Бұл қасиет Евклидтік санның толық квадрат бола алмайтынын көрсетеді. Барлық n ≥ 3 үшін En санының соңғы цифры 1 болады, өйткені En − 1 саны 2 және 5-ке бөлінеді. Яғни, E2-ден үлкен барлық примориалдардың жай көбейткіштері 2 және 5 болғандықтан, олар 10-ға бөлінеді, сондықтан барлық En ≥ 3 + 1 сандарының соңғы цифры 1 болады.

Шешілмеген мәселелер

Евклидтік алғашқы сандардың (примориалдық алғашқы сандардың) саны шексіз бе, жоқ па – әлі белгісіз. Сондай-ақ, әрбір Евклидтік санның квадратсыз сан екені де белгісіз.

Жалпылау

Екінші түрдегі Евклид саны (Куммер саны деп те аталады) – En = pn# − 1 түріндегі бүтін сан, мұнда pn# – n-ші примориал. Осындай сандардың бастапқылары: 1, 5, 29, 209, 2309, 30029, 510509, 9699689, 223092869, 6469693229, 200560490129.

Евклид сандары сияқты, шексіз көп алғашқы Куммер сандарының бар-жоғы әлі белгісіз. Осы сандардың арасындағы алғашқы құрама сан – 209.