Введение
Простая квантово-механическая система
В квантовой механике система двух состояний (также известная как система двух уровней) — это квантовая система, которая может находиться в любой квантовой суперпозиции двух независимых (физически различимых) квантовых состояний. Гильбертово пространство, описывающее такую систему, является двумерным. Следовательно, полный базис, охватывающий это пространство, состоит из двух независимых состояний. Любую систему двух состояний можно рассматривать как кубит. Двухсостоятельные системы — это самые простые квантовые системы, представляющие интерес, поскольку динамика системы одного состояния тривиальна (так как нет других состояний, в которых система может находиться). Математический аппарат, необходимый для анализа систем двух состояний, включает линейные дифференциальные уравнения и линейную алгебру двухмерных пространств. В результате динамика системы двух состояний может быть решена аналитически без каких-либо приближений. Типичное поведение системы заключается в том, что амплитуда волновой функции осциллирует между двумя состояниями. Хорошо известный пример системы двух состояний — спин частицы со спином 1/2, такой как электрон, спин которого может принимать значения +ħ/2 или −ħ/2, где ħ — приведённая постоянная Планка. Система двух состояний не может быть использована для описания процессов поглощения или распада, поскольку такие процессы требуют связи с континуумом. Эти процессы включают экспоненциальное затухание амплитуд, тогда как решения для системы двух состояний носят колебательный характер.
Формула Раби для статического возмущения
Предположим, что система начинается в одном из базисных состояний в момент времени , скажем, так что , и нас интересует вероятность занятия каждого из базисных состояний как функция времени, когда — гамильтониан, не зависящий от времени. Вероятность занятия состояния i равна. В случае исходного состояния, , и, следовательно, из вышесказанного, очевидно, из-за начального условия. Частота называется обобщенной частотой Раби, — частотой Раби, а — расстройкой (детюнингом). При нулевой расстройке, то есть , происходит переброс Раби (flopping) от гарантированного занятия состояния 1 к гарантированному занятию состояния 2 и обратно в состояние 1 и так далее, с частотой. По мере увеличения расстройки от нуля частота переброса увеличивается (до Ω), а амплитуда возбуждения электрона уменьшается до. Для гамильтонианов, зависящих от времени и индуцированных световыми волнами, см. статьи о цикле Раби и приближении вращающейся волны.
Obviously, due to the initial condition. The frequency is called the generalised Rabi frequency, is called the Rabi frequency, and is called the detuning. At zero detuning, , i. e., there is Rabi flopping from guaranteed occupation of state 1, to guaranteed occupation of state 2, and back to state 1, etc., with frequency As the detuning is increased away from zero, the frequency of the flopping increases (to Ω) and the amplitude of exciting the electron decreases to
For time dependent Hamiltonians induced by light waves, see the articles on Rabi cycle and rotating wave approximation.
Эволюция в зависимом от времени поле: Ядерный магнитный резонанс
Ядерный магнитный резонанс (ЯМР) является важным примером в динамике двухсостоятельных систем, поскольку предполагает точное решение зависящего от времени гамильтониана. Феномен ЯМР достигается путем помещения ядра в сильное, статическое поле B₀ ("удерживающее поле"), а затем приложения слабого, поперечного поля B₁ колеблющегося на некоторой радиочастоте ωr. В частности, рассмотрим частицу со спином 1/2 в удерживающем поле и поперечное радиочастотное поле B₁ вращающееся в плоскости xy по часовой стрелке относительно B₀:
Как и в случае свободной прецессии, гамильтониан равен , а эволюция векторa состояния находится путем решения зависящего от времени уравнения Шрёдингера. После некоторых преобразований (приведенных в сворачиваемом разделе ниже) можно показать, что уравнение Шрёдингера принимает вид, где и .
В соответствии с предыдущим разделом, решение этого уравнения описывает вектор Блоха, прецессирующий вокруг с частотой, вдвое превышающей величину вектора. Если B₀ достаточно сильное, некоторая часть спинов будет направлена строго вниз до введения вращающегося поля. Если угловая частота вращающегося магнитного поля выбрана таким образом, что , то во вращающейся системе координат вектор состояния будет прецессировать вокруг с частотой и, таким образом, перевернется из нижнего положения в верхнее, высвобождая энергию в виде обнаруживаемых фотонов. Это является фундаментальной основой ЯМР, и на практике реализуется путем сканирования до тех пор, пока не будет найдена резонансная частота, при которой образец начнет излучать свет. Аналогичные вычисления проводятся в атомной физике, и в случае, когда поле не вращается, а колеблется со сложной амплитудой, для получения подобных результатов используется приближение вращающейся волны.
As per the previous section, the solution to this equation has the Bloch vector precessing around with a frequency that is twice the magnitude of the vector. If is sufficiently strong, some proportion of the spins will be pointing directly down prior to the introduction of the rotating field. If the angular frequency of the rotating magnetic field is chosen such that , in the rotating frame the state vector will precess around with frequency , and will thus flip from down to up releasing energy in the form of detectable photons. This is the fundamental basis for NMR, and in practice is accomplished by scanning until the resonant frequency is found at which point the sample will emit light. Similar calculations are done in atomic physics, and in the case that the field is not rotating, but oscillating with a complex amplitude, use is made of the rotating wave approximation in deriving such results.
Действительность
Системы двух состояний являются самыми простыми нетривиальными квантовыми системами, встречающимися в природе, но вышеупомянутые методы анализа применимы не только к простым системам двух состояний. Любую многоуровневую квантовую систему можно рассматривать как систему двух состояний, если интересующая наблюдаемая имеет два собственных значения. Например, частица со спином 1/2 может фактически обладать дополнительными поступательными или даже вращательными степенями свободы, но эти степени свободы не имеют значения для предыдущего анализа. Математически, пренебрегаемые степени свободы соответствуют вырождению собственных значений спина. Другой случай, когда эффективный двухсостоятельный формализм применим, – это когда рассматриваемая система имеет два уровня, эффективно отсоединённых от остальной системы. Это справедливо для анализа спонтанного или вынужденного излучения света атомами и для анализа зарядовых кубитов. В этом случае следует помнить, что возмущения (взаимодействие с внешним полем) находятся в подходящем диапазоне и не приводят к переходам в состояния, отличные от интересующих.
Значение и другие примеры
Педагогически, формализм двух состояний – один из самых простых математических методов, используемых для анализа квантовых систем. Его можно использовать для иллюстрации фундаментальных квантовомеханических явлений, таких как интерференция, демонстрируемая частицами в состояниях поляризации фотона, а также более сложных явлений, таких как осцилляции нейтрино или осцилляции нейтральных K-мезонов. Формализм двух состояний позволяет описывать простое смешивание состояний, что приводит к явлениям, таким как стабилизация резонанса и другие симметрии, связанные с пересечением уровней энергии. Эти явления находят широкое применение в химии. Явления с огромным промышленным потенциалом, такие как мазер и лазер, могут быть объяснены с помощью формализма двух состояний. Формализм двух состояний также является основой квантовых вычислений. Кубиты, являющиеся строительными блоками квантового компьютера, представляют собой системы двух состояний. Любая квантовая вычислительная операция – это унитарное преобразование, вращающее вектор состояния на сфере Блоха.