Введение

Теорема в квантовой информатике
В физике теорема о невозможности клонирования утверждает, что невозможно создать независимую и идентичную копию произвольного неизвестного квантового состояния, что имеет глубокие последствия в области квантовых вычислений и других областях. Теорема является развитием теоремы 1970 года, сформулированной Джеймсом Парком, в которой он показал, что не существует невозмущающей схемы измерения, которая была бы одновременно простой и совершенной (тот же результат был независимо получен в 1982 году Уильямом Вуттерсом и Войцехом Х. Зюреком, а также Деннисом Диксом в том же году). Упомянутые теоремы не исключают возможности запутывания состояния одной системы с состоянием другой, поскольку клонирование конкретно относится к созданию разделимого состояния с идентичными множителями. Например, можно использовать управляемые NOT-вентили и вентили Уолша-Адамара для запутывания двух кубитов, не нарушая теорему о невозможности клонирования, поскольку никакое однозначно определенное состояние не может быть определено относительно подсистемы запутанного состояния. Теорема о невозможности клонирования (в общепринятом понимании) относится только к чистым состояниям, в то время как обобщенное утверждение относительно смешанных состояний известно как теорема о невозможности широковещательной передачи. Теорема о невозможности клонирования имеет двойственную теорему, обратную по времени, – теорему о невозможности удаления. Вместе они служат основой для интерпретации квантовой механики в терминах теории категорий, и в частности, как категории с кинжальной компактностью. Эта формулировка, известная как категориальная квантовая механика, в свою очередь, позволяет установить связь между квантовой механикой и линейной логикой как логикой квантовой теории информации (в том же смысле, в котором интуиционистская логика возникает из декартово замкнутых категорий).

История

Согласно Ашеру Пересу и Дэвиду Кайзеру, публикация в 1982 году доказательства теоремы о невозможности клонирования, представленного Уоттерсом и Зюреком для устройства сверхсветовой связи, использующего квантовую запутанность, произошла после того, как Джанкарло Гирарди доказал эту теорему за 18 месяцев до публикации Уоттерса и Зюрека в своем отзыве на данное предложение. Как подтверждается письмо редактора, обнаруженное в 2018 году, полное доказательство, а также интерпретация, основанная на отсутствии простых недеструктивных измерений в квантовой механике, были предложены Парком еще в 1970 году. Аналогично, любую квантовую операцию можно реализовать, используя вспомогательный кубит (ансиллу) и выполнив соответствующую унитарную эволюцию. Следовательно, теорема о невозможности клонирования справедлива в полной мере.

Последствия

Теорема о невозможности клонирования препятствует использованию определенных классических методов коррекции ошибок для квантовых состояний. Например, нельзя создавать резервные копии состояния в середине квантового вычисления и использовать их для исправления последующих ошибок. Коррекция ошибок жизненно важна для практических квантовых вычислений, и долгое время было неясно, возможна ли она. В 1995 году Шор и Стин независимо друг от друга разработали первые квантовые коды коррекции ошибок, обходящие теорему о невозможности клонирования, и показали, что это возможно. Аналогично, клонирование нарушило бы теорему о невозможности телепортации, которая утверждает, что невозможно преобразовать квантовое состояние в последовательность классических битов (даже бесконечную), скопировать эти биты в новое местоположение и воссоздать копию исходного квантового состояния в этом месте. Это не следует путать с телепортацией с использованием запутанности, которая позволяет уничтожить квантовое состояние в одном месте и воссоздать точную копию в другом. Теорема о невозможности клонирования вытекает из теоремы о невозможности передачи информации, которая гласит, что квантовую запутанность нельзя использовать для передачи классической информации (сверхсветовой или любой другой скоростью). Иными словами, клонирование в сочетании с запутанностью позволило бы такую передачу. Чтобы понять это, рассмотрим мысленный эксперимент ЭПР и предположим, что квантовые состояния можно клонировать. Пусть части максимально запутанного состояния Белла распределены между Алисой и Бобом. Алиса может отправлять биты Бобу следующим образом: если Алиса хочет передать "0", она измеряет спин своего электрона в направлении z, в результате чего состояние Боба коллапсирует в или . Чтобы передать "1", Алиса не производит никаких действий со своим кубитом. Боб создает множество копий состояния своего электрона и измеряет спин каждой копии в направлении z. Боб поймет, что Алиса передала "0", если все его измерения дадут один и тот же результат; в противном случае его измерения дадут результаты или с равной вероятностью. Это позволило бы Алисе и Бобу обмениваться классическими битами (возможно, на больших расстояниях, нарушая причинность). Квантовые состояния нельзя различить идеально. Теорема о невозможности клонирования исключает интерпретацию голографического принципа для черных дыр как наличие двух копий информации – одной на горизонте событий, а другой внутри черной дыры. Это приводит к более радикальным интерпретациям, таким как комплементарность черных дыр. Теорема о невозможности клонирования применима ко всем категориям с компактными сопряженными операторами: не существует универсального морфизма клонирования для какой-либо нетривиальной категории этого типа. Хотя теорема является неотъемлемой частью определения этой категории, не сразу очевидно, что это так; это важное понимание, поскольку эта категория включает объекты, отличные от конечномерных гильбертовых пространств, включая категорию множеств и отношений и категорию кобордизмов.

Недостаточное клонирование

Хотя невозможно создать идеальные копии неизвестного квантового состояния, возможно создать несовершенные копии. Это достигается путем взаимодействия большей вспомогательной системы с системой, которую необходимо клонировать, и применения унитарного преобразования к объединенной системе. При правильном выборе унитарного преобразования несколько компонентов объединенной системы превратятся в приближенные копии исходного состояния. В 1996 году В. Бузек и М. Хиллери показали, что универсальная машина клонирования может создать клон неизвестного состояния с удивительно высокой степенью достоверности – 5/6. Несовершенное квантовое клонирование может быть использовано, в частности, в качестве атаки на протоколы квантовой криптографии, а также в других областях квантовой информатики.

Другие источники

В. Бузек и М. Хиллери, Квантовое клонирование, Physics World 14 (11) (2001), с. 25–29.