Введение

Число, которое остаётся неизменным при перестановке его цифр. Палиндромное число (также известное как числовой палиндром или численный палиндром) — это число (например, 16461), которое остаётся неизменным при перестановке его цифр. Другими словами, оно обладает зеркальной симметрией относительно вертикальной оси. Термин «палиндромный» происходит от слова «палиндром», которое обозначает слово (например, ротор или racecar), написание которого не меняется при обратном прочтении. Первые 30 палиндромных чисел (в десятичной системе счисления) следующие:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202.
Палиндромные числа привлекают наибольшее внимание в области занимательной математики. Типичная задача состоит в поиске чисел, обладающих определённым свойством и являющихся палиндромами. Например:
Палиндромные простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151. Палиндромные квадраты: 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321.
Очевидно, что в любой системе счисления существует бесконечно много палиндромных чисел, поскольку в любой системе бесконечная последовательность чисел, записанных как 101, 1001, 10001, 100001 и т. д., состоит исключительно из палиндромов.

Формальное определение

Хотя палиндромные числа чаще всего рассматриваются в десятичной системе, понятие палиндромичности может быть применено к натуральным числам в любой системе счисления. Рассмотрим число n > 0 в основании b ≥ 2, которое записывается в стандартном виде с помощью k + 1 цифр ai следующим образом:

при этом, как обычно, 0 ≤ ai < b для всех i и ak ≠ 0. Тогда число n является палиндромом тогда и только тогда, когда ai = ak−i для всех i. Нуль записывается как 0 в любой системе счисления и также является палиндромом по определению.

Идеальные силы

Существует много палиндромных совершенных степеней nk, где n – натуральное число, а k – 2, 3 или 4. Палиндромные квадраты: 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, 14641, 40804, 44944, Палиндромные кубы: 0, 1, 8, 343, 1331, 1030301, 1367631, 1003003001, Палиндромные четвертые степени: 0, 1, 14641, 104060401, 1004006004001.

Первые девять членов последовательности 12, 112, 1112, 11112 формируют палиндромы 1, 121, 12321, 1234321.

Единственное известное непалиндромное число, куб которого является палиндромом, – это 2201. Существует предположение, что четвертый корень всех палиндромных четвертых степеней является палиндромом вида 10n + 1 (например, 100000000001). Г. Дж. Симмонс предположил, что палиндромы вида nk для k > 4 (и n > 1) не существуют.

Антипалиндромные числа

Если цифры натурального числа не только должны быть переставлены в обратном порядке, но и вычтены из исходного числа, чтобы получить исходную последовательность, то такое число называется антипалиндромом. Формально, при обычном разложении натурального числа на цифры в системе счисления *b*, число является антипалиндромом, если выполняется условие .

Лихрель

Непалиндромные числа могут быть сопоставлены с палиндромными посредством серии операций. Сначала непалиндромное число разворачивается, и результат прибавляется к исходному числу. Если результат не является палиндромом, это повторяется до тех пор, пока не получится палиндром. Такое число называется "отложенным палиндромом". Неизвестно, можно ли таким образом сопоставить все непалиндромные числа с палиндромными. Хотя ни одно число не было доказано как не имеющее пары, многие, по-видимому, таковыми являются. Например, число 196 не дает палиндром даже после 700 000 000 итераций. Любое число, которое никогда не становится палиндромом таким образом, известно как число Лихреля. 24 января 2017 года число 1 999 291 987 030 606 810 было опубликовано в OEIS под номером A281509 и объявлено "Самым большим известным отложенным палиндромом". Последовательность из 125 261 шага наиболее отложенных палиндромов, предшествующих 1 999 291 987 030 606 810 и ранее не публиковавшихся, была опубликована отдельно под номером A281508.

Сумма взаимных

Сумма величин, обратных палиндромным числам, является сходящимся рядом, значение которого приблизительно равно 3,37028.

Числа Шехерезаде

Числа Шехерезаде — это набор чисел, идентифицированных Бакминстером Фуллером в его книге «Синергетика». Фуллер не дает формального определения этого термина, но из приведенных им примеров можно понять, что это числа, содержащие фактор примириала n#, где n≥13 и является наибольшим простым множителем числа. Фуллер назвал эти числа числами Шехерезаде, потому что они должны иметь фактор 1001. Шехерезада — рассказчица «Тысячи и одной ночи», рассказывающая новую историю каждую ночь, чтобы отсрочить свою казнь. Поскольку n должно быть не менее 13, примириал должен быть не менее 1·2·3·5·7·11·13, а 7×11×13 = 1001. Фуллер также называет степени 1001 числами Шехерезаде. Наименьший примириал, содержащий число Шехерезаде, равен 13# = 30 030. Фуллер указал, что некоторые из этих чисел являются палиндромами по группам цифр. Например, 17# = 510 510 демонстрирует симметрию групп из трех цифр. Фуллер называл такие числа Шехерезаде, возвышенно запоминающимися всеобъемлющими дивидендами, или SSRCD-числами. Фуллер отмечает, что 1001, возведенное в степень, не только порождает превосходно запоминающиеся числа, являющиеся палиндромами в трехзначных группах, но и значения этих групп соответствуют биномиальным коэффициентам. Например, эта последовательность нарушается при (1001)¹³, поскольку в некоторых группах возникает перенос в следующую группу слева. Фуллер предлагает записывать эти переносы на отдельной строке. Если это сделать, используя по мере необходимости больше строк для переносов, симметрия сохраняется бесконечно при любой степени. Многие другие числа Шехерезаде демонстрируют аналогичную симметрию при таком представлении.

Сумма палиндромов

В 2018 году была опубликована статья, показывающая, что любое положительное целое число можно представить в виде суммы трех палиндромов в любой системе счисления с основанием 5 или больше.