Кіріспе
Сандары кері оқылғанда өзгермейтін сан Палиндромдық сан (сонымен қатар сандық палиндром немесе нөмірлік палиндром деп те аталады) – цифрлары кері оқылғанда өзгермейтін сан (мысалы, 16461). Басқаша айтқанда, ол тік ось бойынша көрініс симметриясына ие. «Палиндромдық» термині палиндром сөзінен шыққан, ол әріптері кері оқылғанда жазылысы өзгермейтін сөзді (мысалы, rotor немесе racecar) білдіреді. Ондық жүйедегі алғашқы 30 палиндромдық сан: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202. Палиндромдық сандар көбінесе ойын-сауық математикасы саласында зейін қояды. Типик есепте белгілі бір қасиеттері бар және палиндромдық сандар сұралады. Мысалы: Палиндромдық жай сандар: 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151. Палиндромдық толық квадрат сандар: 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321. Кез келген сан жүйесінде шексіз көп палиндромдық сандар бар екені анық, өйткені кез келген сан жүйесінде 101, 1001, 10001, 100001 және т.б. түрінде жазылған сандардың шексіз тізбегі тек палиндромдық сандардан ғана тұрады.
A palindromic number (also known as a numeral palindrome or a numeric palindrome) is a number (such as 16461) that remains the same when its digits are reversed. In other words, it has reflectional symmetry across a vertical axis. The term palindromic is derived from palindrome, which refers to a word (such as rotor or racecar) whose spelling is unchanged when its letters are reversed. The first 30 palindromic numbers (in decimal) are:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 202,
Palindromic numbers receive most attention in the realm of recreational mathematics. A typical problem asks for numbers that possess a certain property and are palindromic. For instance:
The palindromic primes are 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, The palindromic square numbers are 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321,
It is obvious that in any base there are infinitely many palindromic numbers, since in any base the infinite sequence of numbers written (in that base) as 101, 1001, 10001, 100001, etc. consists solely of palindromic numbers.
Ресми анықтама
Палиндромдық сандар көбінесе ондық жүйеде қарастырылса да, палиндромдық ұғымын кез келген сандық жүйедегі натурал сандарға қолдануға болады. b ≥ 2 негізіндегі n > 0 санын қарастырайық, ол k+1 цифрдан тұратын ai арқылы стандартты жазу түрінде көрсетілсін:
мұнда, әдеттегідей, барлық i үшін 0 ≤ ai < b және ak ≠ 0. Онда n саны палиндром болады, егер және тек қана егер ai = ak−i барлық i үшін орындалса. Нөл кез келген негізде 0 ретінде жазылады және анықтама бойынша ол да палиндром болып табылады.
Кемелді күш
Көптеген палиндромдық толық қуаттар бар, мұнда n – табиғи сан, ал k – 2, 3 немесе 4. Палиндромдық квадраттар: 0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, 14641, 40804, 44944. Палиндромдық кубтар: 0, 1, 8, 343, 1331, 1030301, 1367631, 1003003001. Палиндромдық төртінші қуаттар: 0, 1, 14641, 104060401, 1004006004001.
Palindromic cubes: 0, 1, 8, 343, 1331, 1030301, 1367631, 1003003001,
Palindromic fourth powers: 0, 1, 14641, 104060401, 1004006004001,
12, 112, 1112 тізбегінің алғашқы тоғыз мүшесі 1, 121, 12321, 1234321 палиндромдарын құрайды.
Кубты палиндром болатын жалғыз палиндром емес сан – 2201, және барлық палиндромдық төртінші қуаттардың төртінші түбірі 100000 000001 (10n + 1) түріндегі палиндром болады деген болжам бар. Г.Ж. Симмонс k > 4 (және n > 1) үшін nk формасында палиндромдар жоқ деп болжады.
Антипалиндромдық сандар
Егер табиғи санның цифрларын кері ретпен орналастырып, содан кейін оларды бастапқы санды алу үшін шегерсе, онда бұл сан антипалиндромдық деп аталады. Формальды түрде, табиғи санды оның цифрларына негізі бойынша әдеттегідей жіктегенде, сан антипалиндромдық болады егер және тек қана .
Лихрельді өңдеу
Палиндромдық емес сандар бірнеше операция арқылы палиндромдық сандармен жұптастырылуы мүмкін. Біріншіден, палиндромдық емес сан кері тіркеліп, нәтижесі бастапқы санға қосылады. Егер нәтиже палиндромдық сан болмаса, палиндромдық сан алынғанша бұл процесс қайталанады. Мұндай сан "кешіктірілген палиндром" деп аталады. Барлық палиндромдық емес сандар осылай палиндромдық сандармен жұптастырылатыны белгісіз. Бірде-бір сан жұптаспайтыны дәлелденбегенмен, көптеген сандар осыған ұқсамайды. Мысалы, 196 саны 700 000 000 рет қайталаудан кейін де палиндромға айналмайды. Осылай палиндромдыққа айналмаған сан Лихрель саны деп аталады. 2017 жылдың 24 қаңтарында OEIS-те A281509 ретінде 1 999 291 987 030 606 810 саны жарияланып, "Ең үлкен белгілі, ең кешіктірілген палиндром" деп белгіленді. 1 999 291 987 030 606 810 санынан бұрынғы 125 261 қадамдық ең көп кешіктірілген палиндромдар тізбегі, бұрын хабарланбаған, жеке A281508 ретінде жарияланды.
Өзара теңгерімдердің қосындысы
Палиндромдық сандардың кері шамаларының қосындысы жинақты қатар болып табылады, оның мәні шамамен 3.37028-ге тең.
Шехерезада сандары
Шехерезада сандары — Бакминстер Фуллердің «Синергетика» кітабында анықтаған сандар жиынтығы. Фуллер бұл терминге формалды анықтама бермейді, бірақ оның берген мысалдарынан, оны n# примириалының көбейткіші бар сандар деп түсінуге болады, мұнда n≥13 және санның ең үлкен жай көбейткіші болып табылады. Фуллер осы сандарды Шехерезада сандары деп атады, себебі олардың құрамында 1001 саны болуы керек. Шехерезада — «Мың бір түн» әңгімешісі, өлім жазасын кейінге қалдыру үшін әр түн сайын жаңа әңгіме айтады. n кем дегенде 13 болғандықтан, примириал кем дегенде 1·2·3·5·7·11·13-ке тең болуы керек, ал 7×11×13 = 1001. Фуллер 1001 санының дәрежелерін де Шехерезада сандары деп атайды. Шехерезада санын қамтитын ең кішкентай примириал 13# = 30 030. Фуллер осы сандардың кейбіреулерінің цифрлар тобы бойынша палиндромдық екенін көрсетті. Мысалы, 17# = 510 510 үш цифрлы топтардың симметриясын көрсетеді. Фуллер мұндай сандарды Шехерезаданың жоғары есте қалатын жан-жақты дивидендтері немесе SSRCD сандары деп атады. Фуллер 1001-нің дәрежесі үш цифрлы топтарда палиндромдық болатын және есте қалатын сандар ғана емес, сонымен қатар топтардың мәндері биномдық коэффициенттер екенін атап өтті. Мысалы, Бұл тізбек (1001)13-те үзіледі, себебі кейбір топтарда сол жаққа көшірілген цифрлар бар. Фуллер осы көшірулерді бөлек жолға жазуды ұсынады. Егер қажет болса, көбірек көшіру жолдары қолданылса, симметрия кез келген дәрежеге дейін сақталады. Көптеген басқа Шехерезада сандары да осылай көрсетілгенде ұқсас симметрияларды көрсетеді.
This sequence fails at (1001)13 because there is a carry digit taken into the group to the left in some groups. Fuller suggests writing these spillovers on a separate line. If this is done, using more spillover lines as necessary, the symmetry is preserved indefinitely to any power. Many other Scheherazade numbers show similar symmetries when expressed in this way.
Палиндромдардың қосындысы
2018 жылы, кез келген оң бүтін санды 5-тен жоғары негізгі сандар жүйесінде үш палиндром санының қосындысы түрінде жазуға болатынын көрсететін мақала жарияланды.