Колоссально обильные числа

Введение

Тип натурального числа

В теории чисел колоссально обильное число (иногда сокращаемое как CA) — это натуральное число, которое в определенном, строгом смысле имеет много делителей. В частности, оно определяется отношением между суммой делителей целого числа и этим целым числом, возведенным в степень, большую единицы. Для любого такого показателя, целое число с наибольшим отношением является колоссально обильным. Это более строгое ограничение, чем для сверхбогатого числа, но не строго более строгое, чем для богатого числа. Формально, число n называется колоссально обильным, если существует ε > 0, такое что для всех k > 1,

где σ обозначает функцию суммы делителей. Первые 15 колоссально обильных чисел — 2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 — также являются первыми 15 превосходными высокосоставными числами, но ни одно из множеств не является подмножеством другого.

История

Колоссально обильные числа впервые были изучены Рамануджаном, и его результаты планировалось включить в его статью 1915 года о высокосоставных числах. К сожалению, издатель журнала, в который Рамануджан представил свою работу, Лондонское математическое общество, в то время испытывало финансовые трудности, и Рамануджан согласился исключить некоторые части работы, чтобы уменьшить стоимость печати. Его выводы в основном основывались на гипотезе Римана, и, исходя из этого предположения, он нашёл верхние и нижние границы для величины колоссально обильных чисел и доказал, что неравенство, впоследствии известное как неравенство Робина (см. ниже), выполняется для всех достаточно больших значений n. Этот класс чисел был вновь рассмотрен в несколько более строгой форме в статье Леонидаса Алаоглу и Пола Эрдоша 1944 года, где они попытались обобщить результаты Рамануджана.

Свойства

Колоссально обильные числа — один из нескольких классов целых чисел, стремящихся отразить понятие большого числа делителей. Для положительного целого числа n функция суммы делителей σ(n) дает сумму всех чисел, делящих n, включая 1 и само n. Пол Бахман показал, что в среднем σ(n) приблизительно равно πn/6. Теорема Грёнвалла, в свою очередь, утверждает, что максимальный порядок σ(n) лишь немного больше, а именно существует возрастающая последовательность целых чисел n, для которых σ(n) примерно того же порядка, что и eγn log(log(n)), где γ — постоянная Эйлера — Маскерони. Подобно превосходным высокосоставным числам, эффективное построение множества всех колоссально обильных чисел дается следующим монотонным отображением из положительных действительных чисел. Пусть для любого простого числа p и положительного действительного числа t,

Colossally abundant numbers are one of several classes of integers that try to capture the notion of having many divisors. For a positive integer n, the sum of divisors function σ(n) gives the sum of all those numbers that divide n, including 1 and n itself. Paul Bachmann showed that on average, σ(n) is around πn / 6. Grönwall's theorem, meanwhile, says that the maximal order of σ(n) is ever so slightly larger, specifically there is an increasing sequence of integers n such that for these integers σ(n) is roughly the same size as eγn log(log(n)), where γ is the Euler–Mascheroni constant. Just like with superior highly composite numbers, an effective construction of the set of all colossally abundant numbers is given by the following monotonic mapping from the positive real numbers. Let

for any prime number p and positive real Then

is a colossally abundant number. For every ε the above function has a maximum, but it is not obvious, and in fact not true, that for every ε this maximum value is unique. Alaoglu and Erdős studied how many different values of n could give the same maximal value of the above function for a given value of ε. They showed that for most values of ε there would be a single integer n maximising the function. Later, however, Erdős and Jean Louis Nicolas showed that for a certain set of discrete values of ε there could be two or four different values of n giving the same maximal value. In their 1944 paper, Alaoglu and Erdős conjectured that the ratio of two consecutive colossally abundant numbers was always a prime number. They showed that this would follow from a special case of the four exponentials conjecture in transcendental number theory, specifically that for any two distinct prime numbers p and q, the only real numbers t for which both pt and qt are rational are the positive integers. Using the corresponding result for three primes, which Siegel assured them was true—a special case of the six exponentials theorem proven in the 1960s by Serge Lang and K. Ramachandra —they managed to show that the quotient of two consecutive colossally abundant numbers is always either a prime or a semiprime (that is, a number with just two prime factors). The quotient can never be the square of a prime. Alaoglu and Erdős's conjecture remains open, although it has been checked up to at least 107. If true it would mean that there was a sequence of non distinct prime numbers p1, p2, p3, such that the nth colossally abundant number was of the form

Assuming the conjecture holds, this sequence of primes begins 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2 Alaoglu and Erdős's conjecture would also mean that no value of ε gives four different integers n as maxima of the above function.

тогда это колоссально обильное число. Для каждого ε указанная функция имеет максимум, но не очевидно, и, более того, неверно, что для каждого ε этот максимальный максимум уникален. Алаоглу и Эрдеш изучали, сколько различных значений n может давать одно и то же максимальное значение указанной функции для заданного значения ε. Они показали, что для большинства значений ε существует единственное целое число n, максимизирующее функцию. Однако позже Эрдеш и Жан-Луи Николас показали, что для определенного набора дискретных значений ε может быть два или четыре различных значения n, дающих одно и то же максимальное значение. В своей статье 1944 года Алаоглу и Эрдеш предположили, что отношение двух последовательных колоссально обильных чисел всегда является простым числом. Они показали, что это следует из частного случая гипотезы четырех экспонент в трансцендентной теории чисел, а именно, что для любых двух различных простых чисел p и q единственные действительные числа t, для которых как pt, так и qt рациональны, — это положительные целые числа. Используя соответствующий результат для трех простых чисел, в истинности которого их заверил Зигель — частный случай теоремы о шести экспонентах, доказанной в 1960-х годах Сержем Лангом и К. Рамачандрой, — им удалось показать, что частное двух последовательных колоссально обильных чисел всегда является либо простым, либо полупростым (то есть числом, имеющим ровно два простых множителя). Частное никогда не может быть квадратом простого числа. Предположение Алаоглу и Эрдеша остается открытым, хотя оно проверено до 10⁷ включительно. Если оно верно, это означало бы, что существует последовательность не обязательно различных простых чисел p₁, p₂, p₃, …, такая что n-е колоссально обильное число имеет вид

При условии справедливости предположения, эта последовательность простых чисел начинается с 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2. Предположение Алаоглу и Эрдеша также означало бы, что не существует значения ε, для которого четыре различных целых числа n были бы максимумами указанной функции.

Отношение к обильным числам

Как и сверхбогатые числа, колоссально обильные числа являются обобщением обильных чисел. Подобно сверхбогатым числам, это не строгое обобщение: число может быть колоссально обильным, не являясь при этом обильным. Это справедливо для числа 6: его делители — 1, 2, 3 и 6, но обильное число определяется как число, сумма делителей которого (без учёта самого числа) больше, чем само число; 1 + 2 + 3 = 6, поэтому это условие не выполняется (и 6 является совершенным числом). Однако все колоссально обильные числа также являются сверхбогатыми числами.