Кіріспе
Табиғи санның түрі
Сандар теориясында, өте көп сан (кейде CA деп қысқартылады) – бұл белгілі бір, қатаң мағынада көптеген бөлгіштері бар табиғи сан. Атап айтқанда, ол бүтін санның бөлгіштерінің қосындысы мен сол бүтін санның бірден жоғары дәрежеге көтерілгені арасындағы қатынас арқылы анықталады. Кез келген осындай дәреже үшін, қай бүтін санның қатынасы ең жоғары болса, ол өте көп сан болып табылады. Бұл, аса көп саннан гөрі күшті шектеу, бірақ аса көп саннан қатаң түрде күштірек емес. Формальды түрде, n саны, егер барлық k > 1 үшін,
онда σ – бөлгіштер қосындысы функциясын білдіретін ε > 0 болса, өте көп деп аталады. Алғашқы 15 өте көп сан: 2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800 – сонымен қатар, бірінші 15 жоғары құрамдас сандардың да құрамына кіреді, бірақ екі жиынның біреуі екіншісінің ішкі жиыны емес.
Тарих
Раманужан колоссалды сандарды алғаш зерттеді, ал оның нәтижелері 1915 жылғы жоғары құрамды сандар туралы мақаласына қосылуы тиіс болған. Алайда, Раманужан өз жұмысын ұсынған журналдың баспашысы – Лондон математикалық қоғамы сол кезде қаржылық қиындыққа тап болды, сондықтан Раманужан баспа шығындарын азайту үшін жұмыстың кейбір бөліктерін алып тастауға келісті. Оның тұжырымдарының көп бөлігі Риман гипотезасына байланысты болды, және осы гипотезді пайдаланып, ол колоссалды сандардың мөлшері үшін жоғарғы және төменгі шекараларды тапты, сондай-ақ Робин теңсіздігі деп аталатын (төменде қараңыз) теңсіздіктің n-нің барлық жеткілікті үлкен мәндері үшін орындалатынын дәлелдеді. Сандар класы 1944 жылы Леонидас Алаоглу мен Пол Эрдостың мақаласында сәл күштірек нысанда қайта қарастырылды, онда олар Раманужанның нәтижелерін кеңейтуге тырысты.
The class of numbers was reconsidered in a slightly stronger form in a 1944 paper of Leonidas Alaoglu and Paul Erdős in which they tried to extend Ramanujan's results.
Қасиеттері
Көптеген бөлгіштері бар сандар – бөлгіштер санының көптігін сипаттауға тырысатын бүтін сандардың бірнеше кластарының бірі. Оң бүтін сан n үшін, бөлгіштер қосындысы функциясы σ(n) н-ді бөлетін барлық сандардың қосындысын береді, соның ішінде 1 және өзінің н санын. Пол Бахманн көрсеткендей, орташа алғанда σ(n) шамамен πn/6-ға тең. Ал Гронвалл теоремасы σ(n) ең үлкен мәнінің сәл үлкен екенін айтады, атап айтқанда, n бүтін сандарының өсу тізбегі бар, онда бұл сандар үшін σ(n) шамамен eγn log(log(n))-ға тең, мұнда γ – Эйлер-Маскерони тұрақтысы. Жоғары құрамды сандардағыдай, барлық аса көп сандар жиынының тиімді құрылымы оң нақты сандардан келесі монотонды бейнелеу арқылы беріледі. Кез келген p жай саны және оң нақты сан үшін,
for any prime number p and positive real Then
is a colossally abundant number. For every ε the above function has a maximum, but it is not obvious, and in fact not true, that for every ε this maximum value is unique. Alaoglu and Erdős studied how many different values of n could give the same maximal value of the above function for a given value of ε. They showed that for most values of ε there would be a single integer n maximising the function. Later, however, Erdős and Jean Louis Nicolas showed that for a certain set of discrete values of ε there could be two or four different values of n giving the same maximal value. In their 1944 paper, Alaoglu and Erdős conjectured that the ratio of two consecutive colossally abundant numbers was always a prime number. They showed that this would follow from a special case of the four exponentials conjecture in transcendental number theory, specifically that for any two distinct prime numbers p and q, the only real numbers t for which both pt and qt are rational are the positive integers. Using the corresponding result for three primes, which Siegel assured them was true—a special case of the six exponentials theorem proven in the 1960s by Serge Lang and K. Ramachandra —they managed to show that the quotient of two consecutive colossally abundant numbers is always either a prime or a semiprime (that is, a number with just two prime factors). The quotient can never be the square of a prime. Alaoglu and Erdős's conjecture remains open, although it has been checked up to at least 107. If true it would mean that there was a sequence of non distinct prime numbers p1, p2, p3, such that the nth colossally abundant number was of the form
Assuming the conjecture holds, this sequence of primes begins 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2 Alaoglu and Erdős's conjecture would also mean that no value of ε gives four different integers n as maxima of the above function.
аса көп сан болады. Кез келген ε үшін жоғарыдағы функцияның максимумдары бар, бірақ бұл анық емес, тіпті шындыққа да жанаспайды, әр ε үшін бұл максимум мәні бірегей. Алоглу және Эрдос n-нің қанша түрлі мәндері берілген ε үшін жоғарыдағы функцияның бірдей ең үлкен мәнін бере алатынын зерттеді. Олар ε-нің көп бөлігі үшін функцияны максимизациялайтын жалғыз n бүтін саны болатынын көрсетті. Бірақ кейінірек Эрдос және Жан Луи Николас ε-нің дискретті мәндерінің белгілі бір жиыны үшін n-нің екі немесе төрт түрлі мәні бірдей ең жоғары мәнді бере алатынын көрсетті. 1944 жылғы мақаласында Алоглу және Эрдос екі тізбекті аса көп сандардың қатынасы әрқашан жай сан болады деп болжады. Олар бұл трансценденттік сандар теориясындағы төрт экспоненталық болжамның ерекше жағдайынан туындайтынын көрсетті, атап айтқанда, екі ерекше жай сандар p және q үшін, pt және qt екеуі де рационалды болатын жалғыз нақты сандар – оң бүтін сандар. Үш жай санға қатысты нәтижені пайдаланып, Сигель оларға оның шын екенін сендірді – 1960 жылдары Серж Ланг және К. Рамачандра дәлелдеген алты экспоненталық теореманың ерекше жағдайы, олар екі тізбекті аса көп сандардың бөлігі әрқашан жай немесе жартылай жай (яғни екі жай көбейткіші бар сан) екенін көрсетуге қол жеткізді. Бөлік ешқашан жай санның квадраты бола алмайды. Алоглу және Эрдостың болжамы әлі де ашық күйде, бірақ ол кем дегенде 107-ге дейін тексерілген. Егер бұл шын болса, онда p1, p2, p3 әртүрлі емес жай сандардың тізбегі бар дегенді білдіреді, сондықтан n-ші аса көп сан келесі формада болады. Болжам орындалса, бұл жай сандар тізбегі 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2 ретімен басталады. Алоглу және Эрдостың болжамы сондай-ақ ε-нің ешқандай мәні жоғарыдағы функцияның максимумдары ретінде n төрт түрлі бүтін санды бермейді дегенді білдіреді.
for any prime number p and positive real Then
is a colossally abundant number. For every ε the above function has a maximum, but it is not obvious, and in fact not true, that for every ε this maximum value is unique. Alaoglu and Erdős studied how many different values of n could give the same maximal value of the above function for a given value of ε. They showed that for most values of ε there would be a single integer n maximising the function. Later, however, Erdős and Jean Louis Nicolas showed that for a certain set of discrete values of ε there could be two or four different values of n giving the same maximal value. In their 1944 paper, Alaoglu and Erdős conjectured that the ratio of two consecutive colossally abundant numbers was always a prime number. They showed that this would follow from a special case of the four exponentials conjecture in transcendental number theory, specifically that for any two distinct prime numbers p and q, the only real numbers t for which both pt and qt are rational are the positive integers. Using the corresponding result for three primes, which Siegel assured them was true—a special case of the six exponentials theorem proven in the 1960s by Serge Lang and K. Ramachandra —they managed to show that the quotient of two consecutive colossally abundant numbers is always either a prime or a semiprime (that is, a number with just two prime factors). The quotient can never be the square of a prime. Alaoglu and Erdős's conjecture remains open, although it has been checked up to at least 107. If true it would mean that there was a sequence of non distinct prime numbers p1, p2, p3, such that the nth colossally abundant number was of the form
Assuming the conjecture holds, this sequence of primes begins 2, 3, 2, 5, 2, 3, 7, 2 Alaoglu and Erdős's conjecture would also mean that no value of ε gives four different integers n as maxima of the above function.
Көп санмен байланысы
Супер-көп сандар сияқты, колоссальды көп сандар – көп сандардың жалпылама түрі болып табылады. Аса көп сандар сияқты, бұл қатаң жалпылама емес; бір сан көп сан болмаса да, колоссальды болуы мүмкін. Бұл 6 санының мысалында көрінеді; 6 санының бөлгіштері 1, 2, 3 және 6, бірақ көп сан деп өзін қоспағандағы бөлгіштерінің қосындысы сол саннан үлкен болған санды айтады; 1 + 2 + 3 = 6, демек, бұл шарт орындалмайды (және 6 саны толық сан болып табылады). Дегенмен, барлық колоссальды көп сандар – аса көп сандардың да ішінде болады.