Введение

В теории кооперативных игр ядро – это множество осуществимых распределений или импутаций, при которых ни одна коалиция агентов не может получить выгоду, отделившись от великой коалиции. Ядро можно рассматривать как соответствие ситуациям, в которых возможно поддержание сотрудничества между всеми агентами. Коалиция считается улучшающей или блокирующей осуществимое распределение, если её члены могут создать большую ценность, действуя сообща, чем им выделено в исходном распределении. Следовательно, у такой коалиции нет стимулов оставаться в составе великой коалиции. Распределение считается принадлежащим ядру игры, если не существует коалиции, способной его улучшить. Таким образом, ядро представляет собой множество всех осуществимых распределений.

Происхождение

Идея ядра уже появилась в трудах , тогда известной как кривая контрактов. Хотя фон Нейман и Моргенштерн считали это интересной концепцией, они работали только с играми с нулевой суммой, где ядро всегда пусто. Современное определение ядра принадлежит Гиллису.

Определение

Рассмотрим кооперативную игру с возможностью перераспределения выигрышей, где обозначает множество игроков, а — характеристическая функция. Импутация доминирует другую импутацию, если существует коалиция , такая что каждый игрок в коалиции слабо предпочитает импутацию (для всех ) и существует игрок, строго предпочитающий импутацию , и эта коалиция может добиться импутации , угрожая выйти из большой коалиции и образовать коалицию . Ядро — это множество импутаций, которые не доминируются ни одной другой импутацией.

Слабое ядро

Импутация сильно доминирует над другой импутацией, если существует коалиция , такая что каждый игрок в строго предпочитает (для всех). Слабое ядро – это множество импутаций, которые не сильно доминируются.

Пример 1: Горняки

Рассмотрим группу из n шахтеров, обнаруживших большие слитки золота. Если два шахтера могут перенести один слиток золота, то выигрыш коалиции S равен…

Если шахтеров больше двух и их число четное, то ядро состоит из единственного распределения, при котором каждый шахтер получает 1/2. Если число шахтеров нечетное, то ядро пусто.

Пример 2: Перчатки

Мистер А и мистер Б вяжут перчатки. Перчатки универсального размера, и две перчатки составляют пару, которую они продают за 5 евро. Каждый из них связал по три перчатки. Как разделить выручку от продажи? Эту проблему можно описать как игру в характерной функции со следующей характеристической функцией: у каждого мужчины по три перчатки, то есть одна пара, имеющая рыночную стоимость 5 евро. Вместе у них 6 перчаток, или 3 пары, имеющие рыночную стоимость 15 евро. Поскольку единственными нетривиальными коалициями в этой игре являются одиночные коалиции (состоящие из одного человека), любое возможное распределение этой суммы принадлежит ядру, при условии, что каждый мужчина получит не менее 5 евро – суммы, которую он может получить самостоятельно. Например, (7,5; 7,5) принадлежит ядру, как и (5; 10) или (9; 6).

Пример 3: Обувь

На данный момент не обращайте внимания на размеры обуви: пара состоит из левого и правого ботинка, которые затем можно продать за 10 евро. Рассмотрим игру с 2001 игроком: 1000 из них имеют 1 левый ботинок, 1001 – 1 правый ботинок. Суть этой игры несколько удивительна: она состоит из единственного распределения, которое дает 10 тем, у кого есть (дефицитный) левый ботинок, и 0 тем, у кого есть (избыточный) правый ботинок. Ни одна коалиция не может заблокировать этот результат, поскольку ни один владелец левого ботинка не согласится на меньшее, чем 10, а любое распределение, выплачивающее положительную сумму любому владельцу правого ботинка, должно выплатить в общей сложности другим игрокам менее 10000, так как они могут получить 10000 самостоятельно. Таким образом, в ядре существует только одно распределение. Сообщение остается тем же, даже если мы увеличим числа, пока левых ботинок будет меньше, чем правых. Ядро подвергалось критике за чрезмерную чувствительность к избыточному предложению одного типа игроков.

Основные положения общей теории равновесия

Вальрасовские равновесия экономики обмена в модели общего равновесия будут находиться в ядре игры сотрудничества между агентами. Графически, и в экономике с двумя агентами (см. ящик Эджворта), ядро представляет собой множество точек на кривой контрактов (множество парето-оптимальных распределений), лежащих между кривыми безразличия каждого из агентов, определенных при начальных наделениях.

Основные положения теории голосования

Когда альтернативами выступают распределения (список наборов потребления), естественно полагать, что любое непустое подмножество индивидов может заблокировать данное распределение. Однако, когда альтернативы являются общественными (например, объем определенного общественного блага), более уместно предположить, что заблокировать данную альтернативу могут только коалиции, достаточно большие для этого. Совокупность таких больших ("выигрышных") коалиций называется простой игрой. Ядро простой игры относительно профиля предпочтений основывается на идее, что только выигрышные коалиции могут отклонить альтернативу в пользу другой. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы ядро было непустым при любом профиле предпочтений, формулируется через число Накамура для данной простой игры.