Введение

Упрощение основных тригонометрических функций

Приближения для малых углов могут быть использованы для приближенного вычисления значений основных тригонометрических функций, при условии, что рассматриваемый угол мал и измерен в радианах.

Эти приближения широко применяются в различных областях физики и техники, включая механику, электромагнетизм, оптику, картографию, астрономию и информатику.

Графический

Точность приближений можно увидеть ниже на рисунках 1 и 2. По мере того как величина угла приближается к нулю, разница между приближением и исходной функцией также стремится к 0.

Двойные числа

Можно также использовать двойные числа, определяемые как числа вида , где и удовлетворяют по определению условиям и . Используя ряд Маклорена косинуса и синуса, можно показать, что и . Кроме того, несложно доказать, что выполняется пифагорейское тождество:

Ошибка приближений

На рисунке 3 показаны относительные погрешности приближений для малых углов. Углы, при которых относительная погрешность превышает 1%, следующие:

cos θ ≈ 1 примерно при 0,1408 радиана (8,07°)
tan θ ≈ θ примерно при 0,1730 радиана (9,91°)
sin θ ≈ θ примерно при 0,2441 радиана (13,99°)
и примерно при 0,6620 радиана (37,93°)

Астрономия

В астрономии угловой размер или угол, под которым виден образ удалённого объекта, часто составляет всего несколько угловых секунд (обозначается символом ″), поэтому он хорошо подходит для использования приближения малых углов.

Структурная механика

Приближение малых углов также используется в строительной механике, особенно при анализе устойчивости и бифуркации (в основном для осевых сжатых колонн, склонных к потере устойчивости). Это позволяет значительно упростить расчеты, хотя и за счет некоторой потери точности и понимания реального поведения.

Пилотирование

Правило "один к шестидесяти", используемое в авиационной навигации, основано на приближении малых углов и на том, что один радиан приблизительно равен 60 градусам.