Введение

В математике покрывающее множество для последовательности целых чисел — это множество простых чисел, такое что каждый член последовательности делится хотя бы на одно число из этого множества. Термин "покрывающее множество" используется только по отношению к последовательностям с экспоненциальным ростом.

Числа Сиерпинского и Ризеля

Использование термина «покрывающий набор» связано с числами Серпинского и Ризеля. Это нечётные натуральные числа k, для которых формула k⋅2<sup>n</sup> + 1 (число Серпинского) или k⋅2<sup>n</sup> − 1 (число Ризеля) не даёт простых чисел. С 1960 года известно, что существует бесконечное количество как чисел Серпинского, так и чисел Ризеля (как решений семейств конгруэнций, основанных на множестве {3, 5, 17, 257, 641, 65537, 6700417}), но, поскольку существует бесконечное количество чисел вида k⋅2<sup>n</sup> + 1 или k⋅2<sup>n</sup> − 1 для любого k, можно доказать, что k является числом Серпинского или Ризеля только путём показа того, что каждый член в последовательности k⋅2<sup>n</sup> + 1 или k⋅2<sup>n</sup> − 1 делится на одно из простых чисел покрывающего набора. Эти покрывающие наборы формируются из простых чисел, которые в двоичной системе счисления имеют короткие периоды. Для достижения полного покрытия Вацлав Серпинский показал, что последовательность может повторяться не чаще, чем каждые 24 числа. Повторение каждые 24 числа даёт покрывающий набор {3, 5, 7, 13, 17, 241}, в то время как повторение каждые 36 членов может дать несколько покрывающих наборов: {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}; {3, 5, 7, 13, 19, 37, 109}; {3, 5, 7, 13, 19, 73, 109} и {3, 5, 7, 13, 37, 73, 109}. Числа Ризеля имеют те же покрывающие наборы, что и числа Серпинского.