Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
математика
mathematics
В математической логике (индуцированная) подструктура или (индуцированная) субальгебра — это структура, область определения которой является подмножеством области определения большей структуры, а функции и отношения которой ограничены областью определения подструктуры. Примеры субальгебр включают подгруппы, субмоноиды, подкольца, подполя, субальгебры алгебр над полем или индуцированные подграфы. Рассматривая вопрос с другой стороны, большая структура называется расширением или надстройкой своей подструктуры. В теории моделей термин «субмодель» часто используется как синоним подструктуры, особенно когда контекст указывает на теорию, в которой обе структуры являются моделями. В случае наличия отношений (то есть для структур, таких как упорядоченные группы или графы, сигнатура которых не является функциональной), может быть целесообразно ослабить условия для субальгебры, чтобы отношения на слабой подструктуре (или слабой субальгебре) были не более чем теми, которые индуцированы из большей структуры. Подграфы — это пример, где это различие имеет значение, и термин «подграф» действительно относится к слабым подструктурам. Упорядоченные группы, с другой стороны, обладают особым свойством: любая подструктура упорядоченной группы, которая сама является упорядоченной группой, является индуцированной подструктурой.
In mathematical logic, an (induced) substructure or (induced) subalgebra is a structure whose domain is a subset of that of a bigger structure, and whose functions and relations are restricted to the substructure's domain. Some examples of subalgebras are subgroups, submonoids, subrings, subfields, subalgebras of algebras over a field, or induced subgraphs. Shifting the point of view, the larger structure is called an extension or a superstructure of its substructure. In model theory, the term "submodel" is often used as a synonym for substructure, especially when the context suggests a theory of which both structures are models. In the presence of relations (i. e. for structures such as ordered groups or graphs, whose signature is not functional) it may make sense to relax the conditions on a subalgebra so that the relations on a weak substructure (or weak subalgebra) are at most those induced from the bigger structure. Subgraphs are an example where the distinction matters, and the term "subgraph" does indeed refer to weak substructures. Ordered groups, on the other hand, have the special property that every substructure of an ordered group which is itself an ordered group, is an induced substructure.
Пример
В языке, состоящем из бинарных функций + и ×, бинарного отношения < и констант 0 и 1, структура (Q, +, ×, <, 0, 1) является подструктурой структуры (R, +, ×, <, 0, 1). В более общем случае, подструктуры упорядоченного поля (или просто поля) являются его подполями. Аналогично, в языке групп (×, −1, 1) подструктурами группы являются ее подгруппы. Однако в языке моноидов (×, 1) подструктурами группы являются ее подмоноиды. Они не обязаны быть группами, и даже если они являются группами, они не обязаны быть подгруппами. В случае графов (в сигнатуре, состоящей из одного бинарного отношения), подструктуры графа – это его подграфы, а его слабые подструктуры – именно его подграфы.
In the language consisting of the binary functions + and ×, binary relation <, and constants 0 and 1, the structure (Q, +, ×, <, 0, 1) is a substructure of (R, +, ×, <, 0, 1). More generally, the substructures of an ordered field (or just a field) are precisely its subfields. Similarly, in the language (×, −1, 1) of groups, the substructures of a group are its subgroups. In the language (×, 1) of monoids, however, the substructures of a group are its submonoids. They need not be groups; and even if they are groups, they need not be subgroups. In the case of graphs (in the signature consisting of one binary relation), subgraphs, and its weak substructures are precisely its subgraphs.
В качестве подобъектов
Для каждой сигнатуры σ, индуцированные подструктуры σ-структур являются субобъектами в конкретной категории σ-структур и сильных гомоморфизмов (а также в конкретной категории σ-структур и σ-вложений). Слабые подструктуры σ-структур являются субобъектами в конкретной категории σ-структур и гомоморфизмов в обычном смысле.
For every signature σ, induced substructures of σ structures are the subobjects in the concrete category of σ structures and strong homomorphisms (and also in the concrete category of σ structures and σ embeddings). Weak substructures of σ structures are the subobjects in the concrete category of σ structures and homomorphisms in the ordinary sense.