Введение
Полиномиальная интерполяция с использованием значений производных
В численном анализе интерполяция Гермита, названная в честь Шарля Эрмита, является методом полиномиальной интерполяции, обобщающим интерполяцию Лагранжа. Интерполяция Лагранжа позволяет вычислить многочлен степени меньше n, принимающий то же значение в n заданных точках, что и заданная функция. В отличие от этого, интерполяция Гермита вычисляет многочлен степени меньше mn, такой, что сам многочлен и его первые m-1 производных принимают те же значения в n заданных точках, что и заданная функция и ее первые m-1 производных. Метод интерполяции Гермита тесно связан с методом интерполяции Ньютона, поскольку оба метода основаны на вычислении разделенных разностей. Однако существуют и другие способы вычисления интерполирующего многочлена Гермита. Можно использовать линейную алгебру, рассматривая коэффициенты интерполирующего многочлена как неизвестные и представляя ограничения, которым должен удовлетворять интерполирующий многочлен, в виде линейных уравнений. Другой метод описан в .
In numerical analysis, Hermite interpolation, named after Charles Hermite, is a method of polynomial interpolation, which generalizes Lagrange interpolation. Lagrange interpolation allows computing a polynomial of degree less than n that takes the same value at n given points as a given function. Instead, Hermite interpolation computes a polynomial of degree less than mn such that the polynomial and its first m − 1 derivatives have the same values at n given points as a given function and its first m − 1 derivatives. Hermite's method of interpolation is closely related to the Newton's interpolation method, in that both are derived from the calculation of divided differences. However, there are other methods for computing a Hermite interpolating polynomial. One can use linear algebra, by taking the coefficients of the interpolating polynomial as unknowns, and writing as linear equations the constraints that the interpolating polynomial must satisfy. For another method, see .
Описание проблемы
Интерполяция Эрмита заключается в вычислении полинома наименьшей возможной степени, который совпадает с неизвестной функцией как по значениям в заданных точках, так и по значениям её первых m производных в этих точках. Это означает, что необходимо знать n(m + 1) значений. Получаемый полином имеет степень меньше n(m + 1). (В более общем случае не требуется, чтобы m было фиксированным значением; то есть, для некоторых точек может быть известно больше производных, чем для других. В этом случае степень полученного полинома меньше числа заданных точек.) Рассмотрим полином P(x) степени меньше n(m + 1) с неопределенными коэффициентами, то есть коэффициенты P(x) являются n(m + 1) новыми переменными. Затем, записывая условия, которым должен удовлетворять интерполирующий полином, получаем систему из n(m + 1) линейных уравнений с n(m + 1) неизвестными. В общем случае такая система имеет единственное решение. Шарль Эрмит доказал, что это действительно так, при условии, что точки попарно различны, и предложил метод для его вычисления, который описан ниже.
must be known. The resulting polynomial has a degree less than n(m + 1). (In a more general case, there is no need for m to be a fixed value; that is, some points may have more known derivatives than others. In this case the resulting polynomial has a degree less than the number of data points.) Let us consider a polynomial P(x) of degree less than n(m + 1) with indeterminate coefficients; that is, the coefficients of P(x) are n(m + 1) new variables. Then, by writing the constraints that the interpolating polynomial must satisfy, one gets a system of n(m + 1) linear equations in n(m + 1) unknowns. In general, such a system has exactly one solution. Charles Hermite proved that this is effectively the case here, as soon as the are pairwise different, and provided a method for computing it, which is described below.
Ошибка
Назовите вычисленный полином H и исходную функцию f. При вычислении значения в точке x, функция ошибки определяется как
где c – неизвестная величина в диапазоне [a, b], K – общее количество точек данных, а m – число известных производных в каждой точке плюс один.