Кіріспе
Туынды мәндерді пайдалана отырып полиномиялық интерполяция. Сандық талдауда, Чарльз Гермит есімімен аталған Гермит интерполяциясы – Лагранж интерполяциясын кеңейтетін полиномиялық интерполяция әдісі. Лагранж интерполяциясы берілген функцияның n берілген нүктедегі мәнімен сәйкес келетін n-ден төмен дәрежелі полиномиалды есептеуге мүмкіндік береді. Ал Гермит интерполяциясы, керісінше, берілген функцияның және оның бірінші m-1 туындыларының n берілген нүктедегі мәнімен сәйкес келетін полиномиалдың және оның бірінші m-1 туындыларының мәнін анықтайтын mn-ден төмен дәрежелі полиномиалды есептейді. Гермит интерполяция әдісі Ньютон интерполяция әдісімен тығыз байланысты, себебі екеуі де бөлінген айырмашылықтарды есептеу арқылы шығарылған. Дегенмен, Гермит интерполяциялық полиномиалын есептеудің басқа да әдістері бар. Мысалы, интерполяциялық полиномиалдың коэффициенттерін белгісіздер деп алып, интерполяциялық полиномиалдың орындалуын талап ететін шектеулерді сызықтық теңдеулер түрінде жазып, сызықтық алгебра қолдануға болады. Тағы бір әдіс үшін қараңыз.
In numerical analysis, Hermite interpolation, named after Charles Hermite, is a method of polynomial interpolation, which generalizes Lagrange interpolation. Lagrange interpolation allows computing a polynomial of degree less than n that takes the same value at n given points as a given function. Instead, Hermite interpolation computes a polynomial of degree less than mn such that the polynomial and its first m − 1 derivatives have the same values at n given points as a given function and its first m − 1 derivatives. Hermite's method of interpolation is closely related to the Newton's interpolation method, in that both are derived from the calculation of divided differences. However, there are other methods for computing a Hermite interpolating polynomial. One can use linear algebra, by taking the coefficients of the interpolating polynomial as unknowns, and writing as linear equations the constraints that the interpolating polynomial must satisfy. For another method, see .
Мәселе туралы түсінік
Гермит интерполяциясы — белгісіз функцияның байқалған мәнімен де, оның алғашқы m туындыларының байқалған мәнімен де сәйкес келетін, мүмкіндігінше төмен дәрежелі көпмүшені есептеу болып табылады. Бұл n(m + 1) мән белгілі болуын талап етеді. Нәтижесінде алынған көпмүшенің дәрежесі n(m + 1)-ден төмен болады. (Көбірек жалпы жағдайда, m-нің тұрақты мәні болуы міндетті емес; яғни, кейбір нүктелерде басқаларына қарағанда көбірек белгілі туындылар болуы мүмкін. Бұл жағдайда алынған көпмүшенің дәрежесі дерек нүктелерінің санынан кем болады.) Енді, коэффициенттері анықталмаған, яғни P(x) көпмүшесінің коэффициенттері n(m + 1) жаңа айнымалы болып табылатын, n(m + 1) дәрежесінен төмен көпмүше P(x) қарастырайық. Содан кейін, интерполяциялық көпмүше қанағаттандыруы тиіс шектеулерді жазып, n(m + 1) белгісізі бар n(m + 1) сызықтық теңдеулер жүйесін аламыз. Әдетте, мұндай жүйеде дәл бір шешім болады. Шарль Гермит олар жұп-жұп ерекшеленсе, бұл жағдайда тиімді екенін дәлелдеді және оны есептеу әдісін ұсынды, ол төменде сипатталған.
must be known. The resulting polynomial has a degree less than n(m + 1). (In a more general case, there is no need for m to be a fixed value; that is, some points may have more known derivatives than others. In this case the resulting polynomial has a degree less than the number of data points.) Let us consider a polynomial P(x) of degree less than n(m + 1) with indeterminate coefficients; that is, the coefficients of P(x) are n(m + 1) new variables. Then, by writing the constraints that the interpolating polynomial must satisfy, one gets a system of n(m + 1) linear equations in n(m + 1) unknowns. In general, such a system has exactly one solution. Charles Hermite proved that this is effectively the case here, as soon as the are pairwise different, and provided a method for computing it, which is described below.
Қате
Есептелген полиномды H деп, ал бастапқы функцияны f деп атайық. Кез келген нүктедегі қателік функциясы:
мұнда c – [диапазонның] ішіндегі белгісіз шама, K – деректер нүктелерінің жалпы саны, ал – әрбір нүктеде белгілі туындылар санының біріне қосылған мәні.