Электронная оптика: расчет траекторий электронов в электромагнитных полях. Применение в электронных микроскопах и ускорителях частиц. Математическая основа.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Траектории электронов в электромагнитных полях
Electron trajectories in electromagnetic fields
Электронная оптика – это математический аппарат для расчета траекторий электронов в электромагнитных полях. Термин "оптика" используется, поскольку магнитные и электростатические линзы воздействуют на пучок заряженных частиц аналогично тому, как оптические линзы воздействуют на световой пучок. Расчеты в области электронной оптики имеют решающее значение для проектирования электронных микроскопов и ускорителей частиц. В параксиальном приближении вычисление траекторий может быть выполнено с использованием анализа матрицы переноса лучей.
Electron optics is a mathematical framework for the calculation of electron trajectories in the presence of electromagnetic fields. The term optics is used because magnetic and electrostatic lenses act upon a charged particle beam similarly to optical lenses upon a light beam. Electron optics calculations are crucial for the design of electron microscopes and particle accelerators. In the paraxial approximation, trajectory calculations can be carried out using ray transfer matrix analysis.
Свойства электрона
Электроны — заряженные частицы (точечные заряды с массой покоя) со спином 1/2 (следовательно, они являются фермионами). Электроны могут ускоряться под действием подходящих электрических полей, приобретая тем самым кинетическую энергию. При достаточном напряжении электрон может быть ускорен до такой скорости, чтобы проявлять измеримые релятивистские эффекты. В соответствии с принципом корпускулярно-волнового дуализма, электроны также могут рассматриваться как материи волны, обладающие такими свойствами, как длина волны, фаза и амплитуда.
Electrons are charged particles (point charges with rest mass) with spin 1/2 (hence they are fermions). Electrons can be accelerated by suitable electric fields, thereby acquiring kinetic energy. Given sufficient voltage, the electron can be accelerated sufficiently fast to exhibit measurable relativistic effects. According to wave particle duality, electrons can also be considered as matter waves with properties such as wavelength, phase and amplitude.
Геометрическая электронная оптика
Оптикомеханическая аналогия Гамильтона показывает, что электронные пучки можно моделировать, используя понятия и математические формулы, применяемые к световым пучкам. Формула траектории электронов соответствует формуле геометрической оптики при подходящем электронно-оптическом показателе преломления. Этот показатель преломления выполняет функцию, аналогичную свойствам стекла, изменяя направление распространения лучей. В оптике света показатель преломления резко изменяется на границе между областями с постоянным показателем: управление лучами осуществляется формой этой границы. В электронной оптике показатель преломления изменяется в пространстве и контролируется электромагнитными полями, создаваемыми вне траекторий электронов.
The Hamilton's optico mechanical analogy shows that electron beams can be modeled using concepts and mathematical formula of light beams. The electron particle trajectory formula matches the formula for geometrical optics with a suitable electron optical index of refraction. This index of refraction functions like the material properties of glass in altering the direction ray propagation. In light optics, the refractive index changes abruptly at a surface between regions of constant index: the rays are controlled with the shape of the interface. In the electron optics, the index varies throughout space and is controlled by electromagnetic fields created outside the electron trajectories.
Магнитные поля
Электроны взаимодействуют с магнитными полями в соответствии со вторым членом силы Лоренца: векторным произведением магнитного поля и скорости электрона. В бесконечном однородном поле это приводит к круговому движению электрона вокруг направления поля с радиусом, определяемым следующим образом:
Electrons interact with magnetic fields according to the second term of the Lorentz force: a cross product between the magnetic field and the electron velocity. In an infinite uniform field this results in a circular motion of the electron around the field direction with a radius given by:
где r — радиус орбиты, m — масса электрона, v⊥ — компонента скорости электрона, перпендикулярная полю, e — заряд электрона, а B — величина приложенного магнитного поля. Электроны, имеющие компоненту скорости, параллельную магнитному полю, будут двигаться по спиральным траекториям.
where r is the orbit radius, m is the mass of an electron, is the component of the electron velocity perpendicular to the field, e is the electron charge and B is the magnitude of the applied magnetic field. Electrons that have a velocity component parallel to the magnetic field will proceed along helical trajectories.
Электрические поля
В случае приложенного электростатического поля электрон отклоняется в сторону положительного градиента поля. Важно отметить, что пересечение линий электростатического поля означает, что электроны, перемещаясь в электростатическом поле, изменяют величину своей скорости, в то время как в магнитном поле изменяется только направление скорости.
In the case of an applied electrostatic field, an electron will deflect towards the positive gradient of the field. Notably, this crossing of electrostatic field lines means that electrons, as they move through electrostatic fields change the magnitude of their velocity, whereas in magnetic fields, only the velocity direction is modified.
Дифракционная электронная оптика
Поскольку электроны могут проявлять нечастичные (волновые) эффекты, такие как интерференция и дифракция, для полного анализа траекторий электронов необходимо выйти за рамки геометрической оптики. Распространение свободных электронов (в вакууме) можно точно описать как де-бройлевскую волну материи с длиной волны, обратно пропорциональной их продольному (возможно, релятивистскому) импульсу. К счастью, пока электромагнитное поле, через которое проходит электрон, изменяется достаточно медленно по сравнению с этой длиной волны (см. типичные значения в разделе "Волна материи # Применение волн материи"), применима формула дифракции Кирхгофа. Толщино-модулированные мембраны из нитрида кремния и программируемые устройства для сдвига фазы используют эти свойства для создания пространственно изменяющихся фазовых сдвигов, позволяющих управлять пространственной интенсивностью и фазой электронной волны в дальнем поле. Устройства подобного типа применяются для произвольного формирования электронного волнового фронта, коррекции аберраций, свойственных электронным микроскопам, определения орбитального углового момента свободного электрона и измерения дихроизма при взаимодействии свободных электронов с магнитными материалами или плазмонными наноструктурами.
As electrons can exhibit non particle (wave like) effects such as interference and diffraction, a full analysis of electron paths must go beyond geometrical optics. Free electron propagation (in vacuum) can be accurately described as a de Broglie matter wave with a wavelength inversely proportional to its longitudinal (possibly relativistic) momentum. Fortunately as long as the electromagnetic field traversed by the electron changes only slowly compared with this wavelength (see typical values in matter wave#Applications of matter waves), Kirchhoff's diffraction formula applies. Thickness modulated silicon nitride membranes and programmable phase shift devices have exploited these properties to apply spatially varying phase shifts to control the far field spatial intensity and phase of the electron wave. Devices like these have been applied to arbitrarily shape the electron wavefront, correct the aberrations inherent to electron microscopes, resolve the orbital angular momentum of a free electron, and to measure dichroism in the interaction between free electrons and magnetic materials or plasmonic nanostructures.
Ограничения применения светооптических методов
Электроны сильно взаимодействуют с веществом, поскольку чувствительны не только к ядру, но и к электронному облаку этого вещества. Поэтому для прохождения электронами значительных расстояний, необходимых, например, в электронно-оптических системах, требуется вакуум. Проникновение в вещество в вакууме определяется средним свободным путем пробега – мерой вероятности столкновения электронов с веществом, приблизительные значения которого можно получить, используя статистику Пуассона.
Electrons interact strongly with matter as they are sensitive to not only the nucleus, but also the matter's electron charge cloud. Therefore, electrons require vacuum to propagate any reasonable distance, such as would be desirable in electron optic system. Penetration in vacuum is dictated by mean free path, a measure of the probability of collision between electrons and matter, approximate values for which can be derived from Poisson statistics.