Введение

Метод аналитических элементов (AEM) — это численный метод, используемый для решения уравнений в частных производных. Он был первоначально разработан О. Д. Л. Страком в Университете Миннесоты. Он схож по своей сути с методом граничных элементов (BEM), поскольку не требует дискретизации объемов или площадей в моделируемой системе; дискретизируются только внутренние и внешние границы. Одним из основных отличий AEM от BEM является то, что граничные интегралы вычисляются аналитически. Изначально разработанный для моделирования потока грунтовых вод, AEM впоследствии был применен и к другим областям исследований, включая изучение теплового потока и теплопроводности, периодических волн и деформации под действием силы.

Математическая основа

Основная предпосылка метода аналитических элементов заключается в том, что для линейных дифференциальных уравнений элементарные решения можно суперпозировать для получения более сложных решений. Существует набор 2D и 3D аналитических решений ("элементов"), доступных для различных управляющих уравнений. Эти элементы обычно соответствуют разрыву зависимой переменной или ее градиента вдоль геометрической границы (например, точки, линии, эллипса, круга, сферы и т. д.). Этот разрыв имеет специфическую функциональную форму (обычно полином в 2D) и может быть скорректирован для удовлетворения граничным условиям Дирихле, Неймана или Робина (смешанным). Каждое аналитическое решение бесконечно в пространстве и/или времени. Как правило, каждое аналитическое решение содержит степени свободы (коэффициенты), которые можно вычислить для соответствия заданным граничным условиям вдоль границы элемента. Для получения глобального решения (т.е. правильных коэффициентов элементов) решается система уравнений таким образом, чтобы граничные условия удовлетворялись вдоль всех элементов (с использованием метода коллокации, минимизации по методу наименьших квадратов или аналогичного подхода). Важно отметить, что глобальное решение обеспечивает пространственно непрерывное описание зависимой переменной во всей бесконечной области, и управляющее уравнение выполняется точно везде, за исключением границы элемента, где управляющее уравнение строго не применимо из-за разрыва. Возможность суперпозиции множества элементов в одном решении означает, что аналитические решения могут быть реализованы для произвольно сложных граничных условий. То есть, можно решать модели со сложной геометрией, прямыми или криволинейными границами, множественными границами, нестационарными граничными условиями, несколькими водоносными горизонтами, свойствами, изменяющимися ступенчато, и непрерывно изменяющимися свойствами. Элементы могут быть реализованы с использованием дальних полей, что позволяет эффективно решать модели, содержащие тысячи элементов, с высокой точностью. Метод аналитических элементов применяется к задачам фильтрации грунтовых вод, описываемым различными линейными частными дифференциальными уравнениями, включая уравнение Лапласа, уравнение Пуассона, модифицированное уравнение Гельмгольца, уравнение теплопроводности и бигармоническое уравнение. Часто эти уравнения решаются с использованием комплексных переменных, что позволяет использовать математические методы, доступные в теории функций комплексного переменного. Полезной техникой для решения сложных задач является конформное отображение, которое отображает границу геометрии, например эллипса, на границу единичного круга, где решение известно. В методе аналитических элементов используются потенциал расхода и функция потока или объединенный комплексный потенциал. Этот потенциал связывает физические свойства системы подземных вод, пьезометрическую поверхность или границы потока с математическим представлением потенциала. Это математическое представление можно использовать для вычисления потенциала в зависимости от положения и, следовательно, для решения задач фильтрации грунтовых вод. Элементы разрабатываются путем решения граничных условий для одного из этих двух параметров – пьезометрической поверхности или границы потока, что приводит к аналитическим решениям, способным учитывать множество граничных условий.

Сравнение с другими методами

Как уже упоминалось, метод аналитических элементов не опирается на дискретизацию объема или площади в модели, в отличие от метода конечных элементов или метода конечных разностей. Таким образом, он позволяет моделировать сложные задачи с погрешностью порядка машинной точности. Это демонстрируется в исследовании, в котором была смоделирована высокогетерогенная изотропная водоносная среда, включающая 100 000 сферических неоднородностей со случайной проводимостью и отслеживание 40 000 частиц. Метод аналитических элементов может эффективно использоваться для верификации или предварительной оценки в крупных проектах, поскольку он позволяет быстро и точно рассчитывать подземный поток для многих сложных задач. В отличие от других распространенных методов моделирования подземных вод, таких как метод конечных элементов или метод конечных разностей, метод аналитических элементов не разбивает модель на ячейки. Это дает преимущество в виде применимости модели к любой точке в области моделирования. Однако это также накладывает ограничения на разделение области на зоны с различной гидравлической проводимостью, по сравнению с моделированием на ячеистой сетке; одним из решений этой проблемы является включение поддоменов в модель методом аналитических элементов. Существуют также решения для реализации вертикально изменяющихся свойств или структур в водоносной среде в модели методом аналитических элементов.