Введение

Описание движения Луны. Законы Кассини дают компактное описание движения Луны. Они были установлены в 1693 году Джованни Доменико Кассини, выдающимся ученым того времени. В эти законы были внесены уточнения с учетом физических либраций.

Законы Кассини

У Луны наблюдается резонанс вращения и орбиты 1:1. Это означает, что отношение периода вращения к периоду обращения Луны таково, что к Земле всегда обращена одна и та же сторона. Ось вращения Луны поддерживает постоянный угол наклона к плоскости эклиптики. Ось вращения Луны прецессирует, описывая конус, который пересекает плоскость эклиптики по окружности. Плоскость, определяемая нормалью к плоскости эклиптики и нормалью к орбитальной плоскости Луны, содержит ось вращения Луны. В случае Луны её ось вращения всегда направлена примерно в 1,5 градуса от северного полюса эклиптики. Нормаль к орбитальной плоскости Луны и её ось вращения всегда находятся по разные стороны от нормали к плоскости эклиптики. Следовательно, как нормаль к орбитальной плоскости, так и ось вращения Луны прецессируют вокруг полюса эклиптики с одинаковым периодом, который составляет около 18,6 лет и является ретроградным.

Состояние Кассини

Система, подчиняющаяся этим законам, называется состоянием Кассини, то есть: развитым вращательным состоянием, в котором ось вращения, нормаль к орбите и нормаль к плоскости Лапласа лежат в одной плоскости, при этом наклонность остаётся постоянной. Плоскость Лапласа определяется как плоскость, относительно которой орбита планеты или спутника прецессирует с постоянным наклоном. Луна Земли находится в состоянии Кассини 2. В общем случае, ось вращения движется в направлении, перпендикулярном как самой себе, так и нормали к орбите, из-за приливного воздействия со стороны объекта, вокруг которого происходит вращение (планеты или звезды), и других объектов в системе. (В случае Луны, её ось вращения движется главным образом под влиянием Земли, в то время как меньшее приливное влияние Солнца действует в том же направлении во время полнолуния и в противоположном направлении во время новолуния, и поэтому является пренебрежимо малым.) Скорость движения оси вращения стремится к нулю, если ось вращения совпадает с нормалью к орбите. Если нормаль к орбите прецессирует по регулярной круговой траектории (из-за приливных воздействий других объектов, таких как Солнце в случае Луны), можно охарактеризовать решения дифференциального уравнения для движения оси вращения. Оказывается, что ось вращения описывает петли на единичной сфере, которая вращается со скоростью орбитальной прецессии (так, что нормаль к орбите и нормаль к плоскости Лапласа являются неподвижными точками на сфере). При определённых значениях параметров на сфере существуют три области, в каждой из которых наблюдается циркуляция вокруг точки внутри области, где ось вращения не движется (в этой вращающейся системе отсчёта). Эти точки соответствуют состояниям Кассини 1 и 2, а также третьему состоянию Кассини, в котором вращение ретроградное (что неприменимо к луне, подобной нашей, находящейся в приливном захвате). Три области разделены сепаратрисой, пересекающей саму себя, а точка пересечения является нестабильным состоянием Кассини 4. (При других значениях параметров существуют только состояния 2 и 3, и сепаратрисы нет.) Если объект обладает гибкостью и рассеивает кинетическую энергию, то эти решения не являются точными, и система будет медленно эволюционировать, приближаясь к стабильному состоянию Кассини. Так произошло и с Луной. Она достигла состояния с постоянной наклонностью в 6,7°, при котором прецессия оси вращения занимает те же 18,6 лет, что и прецессия нормали к орбите, и, следовательно, находится в состоянии Кассини.