Введение

В математике алгебраическая структура В абстрактной алгебре остаточная решетка - это алгебраическая структура, которая одновременно является решетью x ≤ y и моноидом x•y, которая допускает операции x\z и z/y, свободно аналогичные делению или импликации, когда x•y рассматривается как умножение или соединение, соответственно. Эти операции совпадают, когда моноид коммутативен. Общая концепция была введена Морганом Уордом и Робертом П. Дилвортом в 1939 году. Примеры, некоторые из которых существовали до общей концепции, включают булевую алгебру, алгебру Хейтинга, остаточную булевую алгебру, алгебру отношений и алгебру MV. Оставшиеся полуотрезы не содержат операцию meet , например, алгебры Клине и алгебры действия.

Примеры

Одной из первоначальных мотиваций для изучения остаточных решеток была решетка (двусторонних) идеалов кольца. При наличии кольца R, идеалы R, обозначенные 1=Id(R), образуют полную решетку с множеством пересечений, действующих как операция встречи и "идеальное сложение", действующее как операция присоединения. Моноидная операция • дается "идеальным умножением", и элемент R из 1=Id(R) выступает в качестве тождества для этой операции. При наличии двух идеалов A и B в 1=Id(R) остаточные числа даны: Это остаточное соединение связано с проводником (или транспортером) в коммутативной алгебре, записанной как (A:B) = A/B. Одно из различий в использовании заключается в том, что B не обязательно должен быть идеалом R: это может быть просто подмножество. Булева алгебра и алгебра Хейтинга - это коммутативные остаточные решетки, в которых x•y = xy (откуда единица 1='I' является верхним элементом 1 алгебры) и оба остатка x\y и y/x являются одной и той же операцией, а именно импликацией x → y. Второй пример довольно общий, так как алгебры Гейтинга включают все конечные распределяющие решетки, а также все цепочки или общие порядки, например, единичный интервал [0,1] в реальной прямой, или целые числа и структура (Z, min, max, +, 0, −, −) (целые числа с вычитанием для обоих остатков) является коммутативной остаточной решеткой, так что единица моноида не является наибольшим элементом (на самом деле нет наименьшего или наибольшего целого числа), а умножение моноида не является операцией встречи решетки. В этом примере неравенства являются равенствами, потому что − (вычитание) не просто является присоединенным или псевдоинверсным +, но истинным инверсом. Любая полностью упорядоченная группа при сложении, такая как рациональные числа или действительные числа, может быть заменена целыми числами в этом примере. Неотрицательная часть любого из этих примеров является примером, при условии, что min и max взаимно заменены и − заменен на monus, определенный (в этом случае) таким образом, что x y = 0 когда x ≤ y и в противном случае является обычным вычитанием. Более общий класс примеров дается булевой алгеброй всех двоичных отношений на множестве X, а именно множестве сил X2, сделанной остаточной решеткой, принимая моноидное умножение • как состав отношений, а моноидную единицу как отношение тождества I на X, состоящее из всех пар (x,x) для x в X. При наличии двух отношений R и S на X, правое остаточное R\S S на R является бинарным отношением, таким, что x(R\S) y имеет значение только тогда, когда для всех z в X, zRx подразумевает zSy (заметьте связь с импликацией). Левый остаточный является зеркальным образом этого: y(S/R) x имеет значение только тогда, когда для всех z в X, xRz подразумевает ySz. Это можно проиллюстрировать бинарными отношениями < и > на {0,1}, в которых 0 < 1 и 1 > 0 являются единственными отношениями, которые имеют значение. Тогда x(>\<) y будет иметь значение только когда x = 1, в то время как x(</>) y будет иметь значение только когда y = 0, показывая, что остаточное значение < по > будет различным в зависимости от того, остаточный ли он справа или слева. Это различие является следствием разницы между <•> и >•<, где единственными отношениями, которые имеют место, являются 0(<•>) 0 (поскольку 0<1>0) и 1(>•<) 1 (поскольку 1>0<1). Если бы мы выбрали ≤ и ≥ вместо < и >, ≥\≤ и ≤/≥ были бы одинаковыми, потому что ≤•≥ = ≥•≤, оба из которых всегда совпадают между всеми x и y (поскольку x≤1≥y и x≥0≤y). Булева алгебра 2Σ* всех формальных языков над алфавитом (набором) Σ образует остаточную решетку, моноидное умножение которой является языковой конкатенцией LM и моноидная единица которой 1='I' - это язык {ε}, состоящий только из пустой строки ε. Правый остаточный М\Л состоит из всех слов w над Σ таким образом, что Mw L. Левый остаточный L/M такой же, как wM вместо Mw. Остатковая решетка всех бинарных отношений на X конечна только тогда, когда X конечен, и коммутативна только тогда, когда X имеет максимум один элемент. Когда X пусто, алгебра является вырожденной булевой алгеброй, в которой 1=0 = 1 = 'I'. Остатковая решетка всех языков на Σ является коммутативной только тогда, когда Σ имеет не более одной буквы. Она конечна только тогда, когда Σ пуста, состоит из двух языков 0 (пустой язык {}) и моноидной единицы. Примеры, образующие булевую алгебру, имеют особые свойства, рассматриваемые в статье о остаточных булевых алгебрах. В естественном языке остаточные решетки формализуют логику "и", когда используется с его некомутативным значением "и тогда". Устанавливая x = b...

Остатки полуопорожжа

Оставшаяся полусетка определяется почти идентично для оставшихся сеток, исключая только операцию meet . Таким образом, это алгебраическая структура 1=L = (L, , •, 1, /, \), удовлетворяющая всем остаточным решетчатым уравнениям, как указано выше, за исключением тех, которые содержат появление символа . Вариант определения x ≤ y как 1=xy = x тогда не доступен, оставляя только другой вариант 1=xy = y (или любой эквивалент). Любая остаточная решетка может быть сделана остаточной полурешеткой просто путем исключения . Остатковые полутечения возникают в связи с алгебрами действий, которые являются остаточными полутечениями, которые также являются алгебрами Клине, для которых обычно не требуется.