Введение
Система проекции карт
Универсальная поперечная проекция Меркатора (UTM) — это система проекции карт, предназначенная для присвоения координат местоположениям на поверхности Земли. Подобно традиционному методу определения широты и долготы, это горизонтальное представление положения, то есть оно не учитывает высоту и рассматривает поверхность Земли как идеальный эллипсоид. Однако, в отличие от глобальной системы координат, основанной на широте и долготе, UTM делит Землю на 60 зон и проецирует каждую из них на плоскость, которая служит основой для определения координат. Указание местоположения подразумевает указание зоны и координат x и y в этой плоскости. Проекция со сфероида в зону UTM представляет собой определенную параметризацию поперечной проекции Меркатора. Параметры могут различаться в зависимости от страны, региона или картографической системы. Большинство зон UTM охватывают 6 градусов долготы и имеют назначенный центральный меридиан. Масштабный коэффициент на центральном меридиане для большинства используемых систем UTM установлен на уровне 0,9996 от истинного масштаба.
История
На сайте Национального управления океанических и атмосферных исследований (NOAA) указано, что система была разработана Корпусом инженеров армии США, начиная с начала 1940-х годов. Однако серия аэрофотоснимков, обнаруженных в Bundesarchiv Militärarchiv (военном разделе Федерального архива Германии), предположительно датируемых 1943–1944 годами, содержит надпись UTMREF, за которой следуют буквенно-цифровые обозначения сетки, и спроецирована в соответствии с поперечной проекцией Меркатора. Это указывает на то, что система, известная как UTM Reference, была разработана в 1942–1943 годах Вермахтом, вероятно, Abteilung für Luftbildwesen (Департаментом аэрофотосъемки). Начиная с 1947 года армия США использовала очень похожую систему, но с теперь уже стандартным масштабным коэффициентом 0,9996 на центральном меридиане, в отличие от немецкого 1,0. Для остальных территорий Земли, включая Гавайи, использовался международный эллипсоид. В настоящее время для моделирования Земли в системе координат UTM обычно используется эллипсоид Всемирной геодезической системы WGS84, что означает, что текущие значения широты UTM в заданной точке могут отличаться от старых до 200 метров. Для различных географических регионов могут применяться и другие системы отсчета. До разработки системы координат универсального поперечного Меркатора, ряд европейских стран продемонстрировали преимущества конформных карт, основанных на сетке, путем картографирования своих территорий в межвоенный период. Вычисление расстояния между двумя точками на этих картах можно было выполнить проще в полевых условиях (с использованием теоремы Пифагора), чем с использованием тригонометрических формул, необходимых в системе широты и долготы, основанной на гратикуле. В послевоенные годы эти концепции были расширены и преобразованы в систему координат универсального поперечного Меркатора / универсальной полярной стереографической проекции (UTM/UPS), которая представляет собой глобальную (или универсальную) систему карт, основанных на сетке. Поперечная проекция Меркатора является вариантом проекции Меркатора, первоначально разработанной фламандским географом и картографом Герардусом Меркатором в 1570 году. Эта проекция является конформной, то есть сохраняет углы и, следовательно, формы на небольших участках. Однако она искажает расстояния и площади.
Зона UTM
Система UTM разделяет Землю на 60 зон, каждая из которых имеет ширину 6° долготы. Зона 1 охватывает долготу от 180° до 174° западной долготы; нумерация зон увеличивается в восточном направлении до зоны 60, которая охватывает долготу от 174° восточной долготы до 180°. Полярные регионы южнее 80° ю.ш. и севернее 84° с.ш. исключаются. Каждая из 60 зон использует поперечную проекцию Меркатора, позволяющую отображать регионы с большой протяженностью с севера на юг с минимальными искажениями. Используя узкие зоны шириной 6° долготы (до 668 км) и уменьшая масштабный коэффициент вдоль центрального меридиана до 0,9996 (уменьшение в 1:2500), величина искажений внутри каждой зоны поддерживается ниже 1 части на 1000. Искажение масштаба возрастает до 1,0010 на границах зон вдоль экватора. В каждой зоне масштабный коэффициент центрального меридиана уменьшает диаметр поперечного цилиндра, создавая секущую проекцию с двумя стандартными линиями, или линиями истинного масштаба, расположенными примерно в 180 км по обе стороны от и параллельно центральному меридиану (arccos 0,9996 = 1,62° на экваторе). Масштаб меньше 1 внутри стандартных линий и больше 1 за их пределами, но общие искажения сведены к минимуму.
Исключения
Зоны UTM единообразны по всему миру, за исключением двух областей. На юго-западном побережье Норвегии зона 32 простирается на 3° западнее, а зона 31 соответственно сужается, охватывая только открытую воду. Также, в районе вокруг Шпицбергена зоны 32, 34 и 36 не используются, в то время как зоны 31 (шириной 9°), 33 (шириной 12°), 35 (шириной 12°) и 37 (шириной 9°) расширены для заполнения образовавшихся промежутков.
Накладывающиеся сетки
Склонение масштаба возрастает в каждой UTM-зоне по мере приближения к границам между UTM-зонами. Однако часто бывает удобно или необходимо измерять ряд точек в единой сетке, даже если некоторые из них находятся в двух смежных зонах. На картах крупного масштаба (1:100 000 и крупнее) координаты для обеих соседних UTM-зон обычно указываются на расстоянии не менее 40 км по обе стороны от границы зоны. В идеале координаты каждой точки следует измерять в сетке той зоны, в которой она расположена, но поскольку масштабный коэффициент вблизи границ зоны всё ещё относительно невелик, при необходимости можно переносить измерения в смежную зону на некоторое расстояние.
Граничные полосы
Широтные зоны не являются частью UTM, а относятся к военной системе координат (MGRS). Однако они иногда включаются в обозначения UTM. Включение широтной зоны в обозначения UTM может приводить к неоднозначности координат, так как буква "S" может обозначать либо Южное полушарие, либо широтную зону в Северном полушарии, и поэтому следует избегать.
Определение позиции с помощью координат UTM
Положение на Земле задается номером зоны UTM, обозначением полушария, а также парой плановых координат – восточной и северной – в этой зоне. Точка отсчета каждой зоны UTM – это пересечение экватора и центрального меридиана зоны. Чтобы избежать отрицательных значений, к центральному меридиану добавляется ложное восточное смещение в 500 000 метров. Таким образом, точка с восточной координатой 400 000 метров находится примерно в 100 км к западу от центрального меридиана. Для большинства таких точек истинное расстояние, измеренное по поверхности Земли, будет немного больше 100 км из-за искажений проекции. Восточные координаты UTM варьируются примерно от 166 000 до 834 000 метров на экваторе. В северном полушарии координаты отсчитываются на север от нуля на экваторе. Максимальное значение северной координаты составляет около 9 300 000 метров на 84 градусах северной широты, на северном конце зон UTM. Северная координата экватора в южном полушарии установлена на 10 000 000 метров. Северные координаты уменьшаются к югу от этих 10 000 000 метров до примерно 1 100 000 метров на 80 градусах южной широты, на южном конце зон UTM. Следовательно, ни одна точка не имеет отрицательной северной координаты. Например, башня CN Tower находится в зоне UTM 17, а ее координаты в сетке – 630084 по восточной координате и 4833438 по северной. В зоне 17 есть две точки с такими координатами – одна в северном, а другая в южном полушарии. Для однозначного указания необходимо указывать полную зону и обозначение полушария, то есть "17N 630084 4833438".
Упрощенные формулы
Эти формулы являются усечённой версией поперечной проекции Меркатора: разложения в ряд по сплюснутости, впервые выведенные Иоганном Генрихом Луи Крюгером в 1912 году. Они обеспечивают точность до миллиметра в пределах 3000 км от центрального меридиана. Также приведены краткие пояснения к их выводу. Пространственная система отсчета WGS 84 описывает Землю как сплюснутый сфероид, уплощенный у полюсов, с экваториальным радиусом км и обратной сплюснутостью. Возьмем точку с широтой и долготой и вычислим её координаты UTM, а также масштабный коэффициент точки и сходимость меридиана, используя опорный меридиан долготы. По соглашению, в северном полушарии км, а в южном полушарии км. Также по соглашению и км. В следующих формулах расстояния указаны в километрах. Сначала приведем некоторые предварительные значения: