Систематическое представление поверхности сферы или эллипсоида на плоскости.

Введение

В картографии проекция карты – это любое из широкого множества преобразований, используемых для отображения искривлённой двухмерной поверхности земного шара на плоскости. В проекции карты координаты, часто выраженные в виде широты и долготы, точек на поверхности земного шара преобразуются в координаты на плоскости. Проекция – необходимый этап при создании двухмерной карты и один из важнейших элементов картографии. Все проекции сферы на плоскость неизбежно искажают поверхность в той или иной степени. В зависимости от назначения карты, некоторые искажения допустимы, а другие – нет; поэтому существуют различные проекции карты, предназначенные для сохранения определённых свойств сферы за счёт других. Изучение проекций карты в первую очередь посвящено характеристике этих искажений. Число возможных проекций карты не ограничено. В более общем смысле, проекции рассматриваются в различных областях чистой математики, включая дифференциальную геометрию, проективную геометрию и многообразия. Однако термин «проекция карты» относится конкретно к картографической проекции. Несмотря на буквальное значение названия, проекция не ограничивается перспективными проекциями, такими как те, что получаются при отбрасывании тени на экран, или прямолинейным изображением, создаваемым камер-обскурой на плоской фотопластине. Скорее, любой математический метод, чётко и плавно преобразующий координаты с искривлённой поверхности на плоскость, является проекцией. Лишь немногие используемые на практике проекции являются перспективными. В большей части данной статьи предполагается, что отображаемая поверхность – сферическая. Земля и другие крупные небесные тела обычно лучше моделируются в виде сплюснутых сфероидов, в то время как небольшие объекты, такие как астероиды, часто имеют неправильную форму. Поверхности планетных тел могут быть картографированы, даже если они слишком неровны для точного моделирования сферой или эллипсоидом. Таким образом, в более широком смысле, проекция карты – это любой метод преобразования непрерывной искривлённой поверхности в плоскость. Наиболее известной проекцией карты является проекция Меркатора.

In cartography, a map projection is any of a broad set of transformations employed to represent the curved two dimensional surface of a globe on a plane. In a map projection, coordinates, often expressed as latitude and longitude, of locations from the surface of the globe are transformed to coordinates on a plane. Projection is a necessary step in creating a two dimensional map and is one of the essential elements of cartography. All projections of a sphere on a plane necessarily distort the surface in some way and to some extent. Depending on the purpose of the map, some distortions are acceptable and others are not; therefore, different map projections exist in order to preserve some properties of the sphere like body at the expense of other properties. The study of map projections is primarily about the characterization of their distortions. There is no limit to the number of possible map projections. More generally, projections are considered in several fields of pure mathematics, including differential geometry, projective geometry, and manifolds. However, the term "map projection" refers specifically to a cartographic projection. Despite the name's literal meaning, projection is not limited to perspective projections, such as those resulting from casting a shadow on a screen, or the rectilinear image produced by a pinhole camera on a flat film plate. Rather, any mathematical function that transforms coordinates from the curved surface distinctly and smoothly to the plane is a projection. Few projections in practical use are perspective. Most of this article assumes that the surface to be mapped is that of a sphere. The Earth and other large celestial bodies are generally better modeled as oblate spheroids, whereas small objects such as asteroids often have irregular shapes. The surfaces of planetary bodies can be mapped even if they are too irregular to be modeled well with a sphere or ellipsoid. Therefore, more generally, a map projection is any method of flattening a continuous curved surface onto a plane. The most well known map projection is the Mercator projection.

Извращение

Теорема Эгрегиума Карла Фридриха Гаусса доказала, что поверхность сферы невозможно представить на плоскости без искажений. То же самое справедливо и для других опорных поверхностей, используемых в качестве моделей Земли, таких как сжатые сфероиды, эллипсоиды и геоиды. Поскольку любая картографическая проекция является представлением одной из этих поверхностей на плоскости, все картографические проекции вносят искажения. Как и индикатриса Тиссо, индикатриса Голдберга-Готта основана на бесконечно малых величинах и отображает искажения изгиба и скоса (искривления и односторонности). Вместо исходного (увеличенного) бесконечно малого круга, как в индикатрисе Тиссо, некоторые визуальные методы проецируют конечные фигуры, охватывающие часть карты. Например, небольшой круг с фиксированным радиусом (например, с угловым радиусом 15 градусов). Иногда используются сферические треугольники. В первой половине XX века было распространено проецирование человеческой головы на различные проекции, чтобы показать, как искажения меняются в одной проекции по сравнению с другой. В динамических медиа формы знакомых береговых линий и границ можно перетаскивать по интерактивной карте, чтобы продемонстрировать, как проекция искажает размеры и формы в зависимости от положения на карте. Другой способ визуализации локальных искажений – использование градации серого или цвета, где оттенок представляет величину угловой деформации или инфляции площади. Иногда оба параметра отображаются одновременно, смешивая два цвета для создания бивариативной карты. Измерение искажений в целом по областям, а не только в одной точке, требует выбора приоритетов для достижения компромисса. Некоторые схемы используют искажение расстояний как показатель комбинации угловой деформации и инфляции площади; такие методы произвольно выбирают, какие пути измерять и как их взвешивать, чтобы получить единый результат. Многие из них были описаны.

Выбор проекционной поверхности

Поверхность, которую можно развернуть или раскатать в плоскость или лист без растяжения, разрывов или сжатия, называется развиваемой поверхностью. Цилиндр, конус и плоскость – все это развиваемые поверхности. Сфера и эллипсоид не являются развиваемыми поверхностями, поэтому любая их проекция на плоскость неизбежно приведет к искажению изображения. (В качестве примера, невозможно расплющить кожуру апельсина, не разорвав и не деформировав ее.) Один из способов описания проекции заключается в том, чтобы сначала спроецировать с поверхности Земли на развиваемую поверхность, такую как цилиндр или конус, а затем развернуть эту поверхность в плоскость. Хотя первый шаг неизбежно искажает некоторые свойства земного шара, развиваемая поверхность затем может быть развернута без дальнейших искажений.

Аспект проекции

После того, как сделан выбор между проекцией на цилиндр, конус или плоскость, необходимо указать аспект формы. Аспект описывает, как развертываемая поверхность располагается относительно земного шара: она может быть нормальной (при этом ось симметрии поверхности совпадает с осью Земли), поперечной (перпендикулярной оси Земли) или наклонной (под любым углом между ними).

Примечательные линии

Разрабатываемая поверхность также может быть касательной или секущей по отношению к сфере или эллипсоиду. Касательная означает, что поверхность касается земного шара, но не прорезает его; секущая означает, что поверхность прорезает земной шар. Удаление разрабатываемой поверхности от контакта с земным шаром никогда не сохраняет и не оптимизирует метрические свойства, поэтому эта возможность здесь не рассматривается далее. Касательные и секущие линии (стандартные линии) отображаются без искажений. Если эти линии являются параллелью широты, как в конических проекциях, то они называются стандартной параллелью. Центральный меридиан – это меридиан, относительно которого земной шар поворачивается перед проецированием. Центральный меридиан (обычно обозначается λ) и параллель начала отсчета (обычно обозначается φ) часто используются для определения начала координат картографической проекции.

Нормальная цилиндрическая

Нормальная цилиндрическая проекция – это любая проекция, в которой меридианы отображаются на равноотстоящие вертикальные линии, а круги широты (параллели) – на горизонтальные линии. Отображение меридианов на вертикальные линии можно представить, вообразив цилиндр, ось которого совпадает с осью вращения Земли. Этот цилиндр оборачивают вокруг Земли, проецируют на него, а затем разворачивают. По геометрии построения цилиндрические проекции растягивают расстояния с востока на запад. Величина растяжения одинакова на любой выбранной широте для всех цилиндрических проекций и определяется секансом широты, умноженным на масштаб экватора. Различные цилиндрические проекции различаются друг от друга исключительно своим растяжением с севера на юг (где широта обозначена φ): растяжение с севера на юг равно растяжению с востока на запад (sec φ): масштаб с востока на запад соответствует масштабу с севера на юг: конформная цилиндрическая или проекция Меркатора; она чрезмерно искажает площади в высоких широтах. Растяжение с севера на юг растет с широтой быстрее, чем растяжение с востока на запад (sec φ): цилиндрическая перспективная (или центральная цилиндрическая) проекция; непригодна, поскольку искажение еще сильнее, чем в проекции Меркатора. Растяжение с севера на юг растет с широтой, но медленнее, чем растяжение с востока на запад: например, цилиндрическая проекция Миллера (sec φ). Расстояния с севера на юг не растягиваются и не сжимаются (1): равнопромежуточная проекция или "пластинка". Сжатие с севера на юг равно косинусу широты (обратное растяжению с востока на запад): цилиндрическая равновеликая проекция. Эта проекция имеет множество специализированных вариантов, отличающихся только масштабирующим коэффициентом, таких как проекции Галла–Питерса или Галля (неискаженные на 45° параллелях), Берманна (неискаженные на 30° параллелях) и Ламберта (равновеликая цилиндрическая проекция, неискаженная на экваторе). Поскольку эта проекция масштабирует расстояния с севера на юг обратно пропорционально растяжению с востока на запад, она сохраняет площадь за счет формы. В первом случае (проекция Меркатора) масштаб с востока на запад всегда равен масштабу с севера на юг. Во втором случае (центральная цилиндрическая проекция) масштаб с севера на юг превышает масштаб с востока на запад везде, кроме экватора. В каждом из остальных случаев существует пара секантных линий – пара одинаковых широт с противоположными знаками (или экватор), при которых масштаб с востока на запад соответствует масштабу с севера на юг. Нормальные цилиндрические проекции отображают всю Землю в виде конечного прямоугольника, за исключением первых двух случаев, когда прямоугольник растягивается бесконечно в высоту, сохраняя при этом постоянную ширину.

A normal cylindrical projection is any projection in which meridians are mapped to equally spaced vertical lines and circles of latitude (parallels) are mapped to horizontal lines. The mapping of meridians to vertical lines can be visualized by imagining a cylinder whose axis coincides with the Earth's axis of rotation. This cylinder is wrapped around the Earth, projected onto, and then unrolled. By the geometry of their construction, cylindrical projections stretch distances east west. The amount of stretch is the same at any chosen latitude on all cylindrical projections, and is given by the secant of the latitude as a multiple of the equator's scale. The various cylindrical projections are distinguished from each other solely by their north south stretching (where latitude is given by φ):
North south stretching equals east west stretching (sec φ): The east west scale matches the north south scale: conformal cylindrical or Mercator; this distorts areas excessively in high latitudes. North south stretching grows with latitude faster than east west stretching (sec φ): The cylindric perspective (or central cylindrical) projection; unsuitable because distortion is even worse than in the Mercator projection. North south stretching grows with latitude, but less quickly than the east west stretching: such as the Miller cylindrical projection (sec φ). North south distances neither stretched nor compressed (1): equirectangular projection or "plate carrée". North south compression equals the cosine of the latitude (the reciprocal of east west stretching): equal area cylindrical. This projection has many named specializations differing only in the scaling constant, such as the Gall–Peters or Gall orthographic (undistorted at the 45° parallels), Behrmann (undistorted at the 30° parallels), and Lambert cylindrical equal area (undistorted at the equator). Since this projection scales north south distances by the reciprocal of east west stretching, it preserves area at the expense of shapes. In the first case (Mercator), the east west scale always equals the north south scale. In the second case (central cylindrical), the north south scale exceeds the east west scale everywhere away from the equator. Each remaining case has a pair of secant lines—a pair of identical latitudes of opposite sign (or else the equator) at which the east west scale matches the north south scale. Normal cylindrical projections map the whole Earth as a finite rectangle, except in the first two cases, where the rectangle stretches infinitely tall while retaining constant width.

Поперечные цилиндрические

Поперечная цилиндрическая проекция — это цилиндрическая проекция, в касательном случае использующая большой круг вдоль меридиана в качестве линии касания цилиндра. См. поперечный Меркатор.

Обликционный цилиндрический

Наклонная цилиндрическая проекция ориентирована вдоль большого круга, но не экватора и не меридиана.

Гибридный

Проекция HEALPix сочетает цилиндрическую равновеликую проекцию в экваториальных областях с проекцией Коллиньона в полярных областях.

Псевдоконические

Бонн, равновеликая проекция, на которой большинство меридианов и параллелей отображаются в виде изогнутых линий. Она имеет настраиваемую стандартную параллель, вдоль которой нет искажений. Кордиформ Вернера, сохраняющий расстояния от одного полюса, а также вдоль всех параллелей. Американская поликоническая и другие проекции семейства поликонических проекций.

Полиэдры

Полиэдрические картографические проекции используют многогранник для разделения земного шара на грани, а затем проецируют каждую грань на плоскость. Наиболее известной полиэдрической проекцией является карта Димаксиона Бакминстера Фуллера.

Равностоящие

Если длина отрезка линии, соединяющего две проецированные точки на плоскости, пропорциональна геодезическому расстоянию (кратчайшему расстоянию по поверхности) между двумя непроецированными точками на земном шаре, то говорят, что расстояние между этими двумя точками сохранено. Равноудаленная проекция сохраняет расстояния от одной или двух специальных точек до всех остальных точек. Специальная точка или точки могут быть растянуты в линию или сегмент кривой при проецировании. В этом случае для измерения расстояния следует использовать точку на этой линии или сегменте кривой, ближайшую к измеряемой точке. Прямоугольная проекция (Plate carrée): Расстояния от обоих полюсов сохраняются в экваториальной проекции. Азимутальная равноудаленная проекция: Расстояния от центра и края сохраняются. Равноудаленная коническая проекция: Расстояния от обоих полюсов сохраняются в экваториальной проекции. Кордиформная проекция Вернера: Расстояния от Северного полюса сохраняются в экваториальной проекции. Проекция с двумя равноудаленными точками: Две "контрольные точки" произвольно выбираются картографом; расстояния от каждой контрольной точки сохраняются.

Пригодность выступа для применения

Математика картографических проекций не позволяет какой-либо одной проекции быть оптимальной для всех целей. Обобщенные карты мира часто создаются с использованием компромиссных проекций. В силу искажений, неизбежных при картографировании, выбор проекции во многом определяется эстетическими соображениями. Тематические карты, как правило, требуют равновеликой проекции, чтобы явления на единицу площади отображались в правильной пропорции. Однако точное сохранение площадей неизбежно приводит к большему искажению форм, чем на многих проекциях, не являющихся равновеликими. Проекция Меркатора, разработанная для навигации, часто использовалась на картах мира, где более подходящими были бы другие проекции. Эта проблема давно признана даже за пределами профессионального сообщества. Например, в редакционной статье газеты New York Times за 1943 год говорилось:

цитата: «Пришло время отказаться от [проекции Меркатора] в пользу такой, которая менее искажает континенты и направления». Хотя её использование сократилось, она по-прежнему популярна в качестве настенной карты, вероятно, отчасти потому, что прямоугольная форма позволяет эффективно заполнить прямоугольное пространство стены, и, очевидно, благодаря своей узнаваемости. Это связано с необходимостью информирования общественности о картографических проекциях и искажениях на картах. В 1989 и 1990 годах, после внутренних обсуждений, семь североамериканских географических организаций приняли резолюцию, рекомендующую не использовать какие-либо прямоугольные проекции (включая проекции Меркатора и Галла-Петерса) для обобщенных карт мира.