Введение

Простое число вида 2^u • 3^v + 1, где u и v > 0

В теории чисел простое число Пьерпонта — это простое число вида

2^u • 3^v + 1, где u и v — неотрицательные целые числа. Иными словами, это простые числа p, для которых p − 1 является 3-гладким числом. Они названы в честь математика Джеймса Пирпонта, который использовал их для характеристики правильных многоугольников, которые могут быть построены с использованием конических сечений. Та же характеристика применима к многоугольникам, которые могут быть построены с помощью линейки, циркуля и трисектора угла, или с помощью складывания бумаги. За исключением 2 и чисел Ферма, каждое простое число Пьерпонта должно давать остаток 1 при делении на 6. Первые несколько простых чисел Пьерпонта:

Предполагается, что существует бесконечно много простых чисел Пьерпонта, но это до сих пор не доказано.

Распространение

Простое число Пьерпона с 1=v = 0 имеет вид , и поэтому является простым числом Ферма (если 1=u = 0). Если v положительно, то u также должно быть положительным (потому что было бы четным числом, большим 2, и следовательно, не простым), и поэтому все не-Ферма простые числа Пьерпона имеют вид 6k + 1, где k – положительное целое число (за исключением 2, когда 1=u = v = 0). Эмпирически, простые числа Пьерпона не кажутся особенно редкими или неравномерно распределенными; существует 42 простых числа Пьерпона меньше 10⁶, 65 меньше 10⁹, 157 меньше 10²⁰ и 795 меньше 10¹⁰⁰. Существует мало ограничений, вытекающих из алгебраических разложений, на простые числа Пьерпона, поэтому нет требований, подобных условию для простых чисел Мерсена, что показатель степени должен быть простым. Таким образом, ожидается, что среди n-значных чисел правильной формы , доля из них, являющихся простыми, должна быть пропорциональна 1/n, что аналогично доле простых чисел среди всех n-значных чисел. Поскольку в этом диапазоне имеется чисел правильной формы, должно быть простых чисел Пьерпона. Эндрю М. Глисон четко сформулировал этот аргумент, предположив, что существует бесконечно много простых чисел Пьерпона, и более конкретно, что должно быть приблизительно 9n простых чисел Пьерпона до 10ⁿ. Согласно гипотезе Глисона, существует простых чисел Пьерпона, меньших N, в отличие от меньшего предполагаемого числа простых чисел Мерсена в этом диапазоне.

Испытание первичности

Когда , является числом Прота и, следовательно, его простоту можно проверить с помощью теоремы Прота. С другой стороны, когда возможны альтернативные тесты простоты для , основанные на факторизации как небольшого чётного числа, умноженного на большую степень тройки.

Полигонная конструкция

В математике складывания бумаги аксиомы Хузиты определяют шесть из семи возможных типов складок. Было показано, что этих складок достаточно для построения точек, являющихся решениями любого кубического уравнения. Следовательно, они позволяют построить любой правильный многоугольник с N сторонами, при условии, что N ≥ 3 и имеет вид 2^(m)3^(n)ρ, где ρ – произведение различных простых чисел Пьерпона. Это тот же класс правильных многоугольников, которые можно построить с помощью циркуля, линейки и трисектора угла. Как позднее показал Глисон, эти числа точно соответствуют форме 2^(m)3^(n)ρ, указанной выше. Обобщённое простое число Пьерпона – это простое число вида с k фиксированными простыми числами p1 < p2 < p3 < … < pk. Обобщённое простое число Пьерпона второго рода – это простое число вида с k фиксированными простыми числами p1 < p2 < p3 < … < pk. Поскольку все простые числа, большие 2, нечётны, в обоих случаях p1 должно быть равно 2. Последовательности таких простых чисел в OEIS: {p1, p2, p3, …, pk} + 1 − 1{2}{2, 3}{2, 5}{2, 3, 5}{2, 7}{2, 3, 5, 7}{2, 11}{2, 13}