Введение
Средний арифметический максимум и минимум
В статистике медиана диапазона, или средняя граница, является мерой центральной тенденции выборки, определяемой как среднее арифметическое максимального и минимального значений набора данных:
Медиана диапазона тесно связана с размахом, мерой статистической дисперсии, определяемой как разность между максимальным и минимальным значениями. Эти две меры взаимодополняемы в том смысле, что, зная медиану диапазона и размах, можно определить максимальное и минимальное значения выборки. Медиана диапазона редко используется в практическом статистическом анализе, поскольку она неэффективна в качестве оценки для большинства интересующих распределений, так как игнорирует все промежуточные значения и не обладает устойчивостью, поскольку выбросы оказывают на неё значительное влияние. Фактически, для многих распределений это одна из наименее эффективных и наименее устойчивых статистик. Однако она находит некоторое применение в особых случаях: это максимально эффективная оценка для центра равномерного распределения, усечённые медианы диапазона повышают устойчивость, и как L-оценка, она проста для понимания и вычисления.
Прочность
Средний диапазон крайне чувствителен к выбросам и учитывает только две точки данных. Следовательно, это очень неустойчивая статистическая характеристика с точкой прорыва 0, что означает, что одно наблюдение может изменить её произвольно. Более того, на него сильно влияют выбросы: увеличение максимального значения выборки или уменьшение минимального значения выборки на x изменяет средний диапазон на x, в то время как изменяет среднее значение выборки, которое также имеет точку прорыва 0, только на x/2. Таким образом, он имеет ограниченное применение в практической статистике, если выбросы не обработаны предварительно. Усечённый средний диапазон известен как среднее резюме – n%-усечённый средний диапазон представляет собой среднее значение n-го и (100−n)-го процентилей и является более устойчивым, имея точку прорыва n%. Между ними находится средний интерквартильный размах, который представляет собой 25%-е среднее резюме. Медиану можно интерпретировать как полностью усечённый (50%) средний диапазон; это соответствует соглашению о том, что медиана чётного числа точек является средним арифметическим двух средних точек. Эти усечённые средние диапазоны также представляют интерес как описательная статистика или как L-оценки центральной тенденции или асимметрии: разности средних резюме, такие как средний интерквартильный размах минус медиана, дают меры асимметрии в разных частях распределения.
Эффективность
Несмотря на свои недостатки, в некоторых случаях он полезен: средний диапазон является высокоэффективной оценкой μ при небольшой выборке из достаточно платикуртического распределения, но неэффективен для мезокуртических распределений, таких как нормальное. Например, для непрерывного равномерного распределения с неизвестными максимальным и минимальным значениями, средний диапазон является равномерно минимальной несмещенной оценкой (UMVU) среднего значения. Максимальное и минимальное значения выборки вместе с размером выборки являются достаточной статистикой для максимального и минимального значений генеральной совокупности – распределение остальных значений выборки, при заданных максимальном и минимальном значениях, является просто равномерным распределением между этими значениями и, следовательно, не добавляет никакой информации. Подробнее см. в статье «Проблема с немецкими танками». Таким образом, средний диапазон, являясь несмещенной и достаточной оценкой среднего значения генеральной совокупности, фактически и есть UMVU: использование среднего значения выборки просто добавляет шум, основанный на неинформативном распределении точек внутри этого диапазона. Напротив, для нормального распределения среднее значение выборки является UMVU-оценкой среднего значения. Следовательно, для платикуртических распределений, которые часто можно рассматривать как промежуточные между равномерным и нормальным распределениями, информативность средних точек выборки по сравнению с крайними значениями варьируется от «равной» для нормального до «неинформативной» для равномерного, и для различных распределений одно или другое (или их комбинация) может быть наиболее эффективным. Устойчивым аналогом является тримеан, который усредняет средний размах (25%-й усеченный средний размах) и медиану.
Малые образцы
Для небольших размеров выборки (n от 4 до 20), полученных из достаточно платикуртического распределения (отрицательный избыточный куртоз, определяемый как γ2 = (μ4/(μ2)²) − 3), медиана диапазона является эффективной оценкой среднего значения μ. Следующая таблица суммирует эмпирические данные, сравнивающие три оценки среднего значения для распределений с различным куртозом; модифицированное среднее – это усеченное среднее, из которого исключены максимальное и минимальное значения. Избыточный куртоз (γ2) Наиболее эффективная оценка μ −1,2 до −0,8 Медиана диапазона −0,8 до 2,0 Среднее 2,0 до 6,0 Модифицированное среднее
Для n = 1 или 2 медиана диапазона и среднее равны (и совпадают с медианой) и являются наиболее эффективными для всех распределений. Для n = 3 модифицированное среднее является медианой, а среднее – наиболее эффективной мерой центральной тенденции для значений γ2 от 2,0 до 6,0, а также от −0,8 до 2,0.
Отклонение
В то время как среднее значение набора значений минимизирует сумму квадратов отклонений, а медиана минимизирует среднее абсолютное отклонение, полуинтервал минимизирует максимальное отклонение (определяемое как ): он является решением вариационной задачи.