Введение

Тип среднего значения в наборе чисел

В математике и статистике арифметическое среднее (/pron/,/æ//r//ɪ//θ/'/m//ɛ//t//ɪ//k// /'/m//iː//n/ arrithMETik), или просто среднее (если контекст понятен) – это сумма чисел в наборе, делённая на количество этих чисел. Набор часто представляет собой результаты эксперимента, наблюдательного исследования или опроса. Термин «арифметическое среднее» предпочтителен в некоторых математических и статистических контекстах, поскольку он помогает отличать его от других типов средних, таких как геометрическое и гармоническое. Помимо математики и статистики, арифметическое среднее часто используется в экономике, антропологии, истории и практически во всех академических областях в той или иной степени. Например, доход на душу населения – это арифметическое среднее значение дохода населения страны. Хотя арифметическое среднее часто используется для описания центральной тенденции, оно не является устойчивой статистикой: на него сильно влияют выбросы (значения, значительно превышающие или не дотягивающие до большинства других). Для асимметричных распределений, например, распределения доходов, где доходы немногих людей существенно выше, чем у большинства, арифметическое среднее может не соответствовать интуитивному представлению о «среднем» значении. В таких случаях более точным описанием центральной тенденции могут служить устойчивые статистики, такие как медиана.

Мотивирующие свойства

Среднее арифметическое обладает рядом свойств, которые делают его интересным, особенно как меру центральной тенденции. Если числа имеют среднее значение , то, поскольку является расстоянием от данного числа до среднего значения, один из способов интерпретировать это свойство – сказать, что числа, расположенные левее среднего значения, компенсируются числами, расположенными правее. Среднее значение – единственное число, для которого сумма отклонений (разностей между значениями и оценкой) равна нулю. Это также можно интерпретировать как трансляционную инвариантность среднего значения: для любого действительного числа . Если требуется использовать одно число в качестве "типичного" значения для набора известных чисел, то арифметическое среднее этих чисел выполняет это наилучшим образом, поскольку оно минимизирует сумму квадратов отклонений от этого типичного значения: сумма. Среднее значение выборки также является наилучшим одиночным предиктором, поскольку обладает наименьшей среднеквадратичной ошибкой. Если требуется определить среднее арифметическое генеральной совокупности чисел, то несмещенной оценкой этого среднего является арифметическое среднее выборки, полученной из генеральной совокупности. Среднее арифметическое не зависит от масштаба единиц измерения, то есть, например, вычисление среднего значения в литрах с последующим преобразованием в галлоны эквивалентно предварительному преобразованию в галлоны и последующему вычислению среднего значения. Это также называется однородностью первого порядка.

Дополнительные свойства

Арифметическое среднее выборки всегда лежит между наибольшим и наименьшим значениями в этой выборке. Арифметическое среднее любого количества групп чисел одинакового размера равно арифметическому среднему арифметических средних каждой группы.

Контраст с медианой

Среднее арифметическое можно противопоставить медиане. Медиана определяется таким образом, что не более половины значений превышают её, и не более половины значений меньше её. Если элементы данных возрастают арифметически при некоторой упорядоченности, то медиана и среднее арифметическое совпадают. Например, рассмотрим набор данных Среднее равно , как и медиана. Однако, если мы рассмотрим набор данных, который нельзя упорядочить по возрастанию арифметической прогрессии, например, , медиана и среднее арифметическое могут существенно различаться. В этом случае среднее арифметическое равно , а медиана равна . Среднее значение может значительно отличаться от большинства значений в наборе данных и быть больше или меньше большинства из них. Это явление находит применение во многих областях. Например, начиная с 1980-х годов, медианный доход в Соединенных Штатах рос медленнее, чем средний арифметический доход.

Взвешенное среднее значение

Взвешенное среднее, или взвешенное значение, – это среднее, в котором некоторые значения данных учитываются с большим весом, чем другие, то есть им придается больший вес при вычислении. Например, арифметическое среднее чисел и равно , или, что эквивалентно, . В отличие от этого, взвешенное среднее, в котором первое число получает, например, в два раза больший вес, чем второе (возможно, потому что предполагается, что оно встречается в два раза чаще в генеральной совокупности, из которой были взяты эти числа), будет вычислено как . Здесь веса, которые в сумме должны давать единицу, равны и , причем первое в два раза больше второго. Арифметическое среднее (иногда называемое «не взвешенным средним» или «средним с равными весами») можно рассматривать как частный случай взвешенного среднего, в котором все веса равны одному и тому же числу ( в приведенном выше примере и в ситуации, когда усредняются чисел).

Непрерывные распределения вероятности

Если числовое свойство и любой образец данных из него могут принимать любое значение из непрерывного диапазона, а не, например, только целые числа, то вероятность попадания числа в определенный диапазон возможных значений может быть описана интегрированием непрерывного распределения вероятности по этому диапазону, даже если наивная вероятность для конкретного значения выборки из бесконечного множества равна нулю. В этом контексте аналогом взвешенного среднего, где существует бесконечное число возможных точных значений переменной в каждом диапазоне, является математическое ожидание распределения вероятности. Наиболее часто встречающееся распределение вероятностей называется нормальным распределением; оно обладает свойством, что все меры его центральной тенденции, включая не только математическое ожидание, но и медиану, упомянутую выше, и моду (три М), равны. Это равенство не выполняется для других распределений вероятностей, что иллюстрируется на примере логнормального распределения.

Символы и кодирование

Среднее арифметическое часто обозначается чертой над числом (винкулюм или макроном), как, например, в некоторых форматах документов (таких как PDF) этот символ может заменяться символом "¢" (цент) при копировании в текстовый процессор, например, Microsoft Word.