Введение

Математическая задача

В статистике проблема Беренса — Фишера, названная в честь Уолтера Ульриха Беренса и Рональда Фишера, представляет собой задачу интервального оценивания и проверки гипотез относительно разности между средними значениями двух нормально распределённых популяций, когда дисперсии этих популяций не предполагаются равными, на основе двух независимых выборок.

Спецификация

Одной из сложностей обсуждения проблемы Беренса — Фишера и предлагаемых решений является то, что существует множество различных интерпретаций того, что понимается под "проблемой Беренса — Фишера". Эти различия касаются не только того, что считается релевантным решением, но и самой формулировки рассматриваемой постановки задачи.

Контекст

Пусть X1, …, Xn и Y1, …, Ym – независимые и одинаково распределенные выборки из двух популяций, принадлежащих одному и тому же семейству распределений с параметрами местоположения и масштаба. Параметры масштаба считаются неизвестными и не обязательно равными, и задача состоит в том, чтобы оценить, можно ли считать параметры местоположения разумно равными. Леманн отмечает, что термин "проблема Беренса–Фишера" используется как для этой общей формы модели, когда семейство распределений произвольное, так и для случая, когда предполагается нормальное распределение. В то время как Леманн рассматривает ряд подходов к более общей проблеме, в основном основанных на непараметрических методах, большинство других источников используют термин "проблема Беренса–Фишера" исключительно для случая нормального распределения: данная статья в основном исходит из этого предположения.

Требования к растворам

Были предложены решения проблемы Бехренса — Фишера, использующие либо классический, либо байесовский подход к выводам, и каждое из этих решений было бы принципиально недействительным с точки зрения другого подхода. Если рассматривать только классический статистический вывод, можно искать решения, простые в практическом применении, отдавая приоритет этой простоте над возможной неточностью соответствующих вероятностных утверждений. Если требуется точное определение уровней значимости статистических тестов, может возникнуть дополнительное требование, чтобы процедура максимально использовала статистическую информацию в наборе данных. Хорошо известно, что точный тест можно получить, случайным образом исключая данные из большего набора, пока размеры выборок не станут равными, объединяя данные в пары и вычисляя разности, а затем используя стандартный t-тест для проверки гипотезы о нулевом среднем значении разностей: очевидно, что это не будет "оптимальным" в каком-либо смысле. Построение интервальных оценок для этой проблемы является областью, где частотный подход не позволяет получить точное решение, хотя существуют некоторые приближения. Стандартные байесовские подходы также не дают ответа, который можно было бы выразить в виде простых формул, но современные вычислительные методы байесовского анализа позволяют находить практически точные решения. Таким образом, изучение этой проблемы может помочь прояснить различия между частотным и байесовским подходами к интервальной оценке.

Подход Берренса и Фишера

Рональд Фишер в 1935 году ввел фидуциальный вывод с целью его применения к этой проблеме. Он ссылался на более раннюю работу Уолтера Ульриха Беренса, опубликованную в 1929 году. Беренс и Фишер предложили найти распределение вероятности величины

где и – средние значения двух выборок, а s1 и s2 – их стандартные отклонения. См. распределение Бехренса — Фишера. Фишер аппроксимировал это распределение, игнорируя случайную изменчивость относительных величин стандартных отклонений.

Решение Фишера вызвало споры, поскольку оно не обладало свойством отвергать гипотезу о равенстве средних с вероятностью α, если средние значения на самом деле равны. С тех пор было предложено множество других методов решения этой проблемы, и исследовалось влияние этих методов на получаемые доверительные интервалы.

Точные решения общих и обобщенных проблем Бехренса и Фишера

В течение нескольких десятилетий общепринятым было мнение, что точного решения общей задачи Беренса — Фишера не существует. Однако в 1966 году было доказано, что такое решение существует. В 2018 году была доказана функция плотности вероятности обобщенного распределения Беренса — Фишера для m средних и m различных стандартных ошибок, полученных из m выборок различного размера из независимых нормальных распределений с различными средними и дисперсиями, а также исследованы его асимптотические приближения. В последующей работе показано, что классический парный t-критерий представляет собой центральную задачу Беренса — Фишера с ненулевым коэффициентом корреляции генеральной совокупности, и была получена соответствующая функция плотности вероятности путем решения связанной с ней нецентральной задачи Беренса — Фишера с ненулевым коэффициентом корреляции генеральной совокупности. В приложении также была решена более общая нецентральная задача Беренса — Фишера с ненулевым коэффициентом корреляции генеральной совокупности. В данном случае задача состоит в том, чтобы, предполагая, что два средних значения генеральной совокупности на самом деле равны, делать выводы об общем среднем значении: например, можно построить доверительный интервал для общего среднего значения.

Обобщения

Одно из обобщений проблемы связано с многомерными нормальными распределениями с неизвестными ковариационными матрицами и известно как многомерная проблема Беренса — Фишера. Непараметрическая проблема Беренса — Фишера не предполагает нормальности распределений. К тестам относятся тест Куккони 1968 года и тест Лепейджа 1971 года.