Кіріспе

Математикалық мәселе

Статистикада Бехренс-Фишер проблемасы – Вальтер Ульрих Бехренс және Рональд Фишердің есімдерімен аталатын, екі қалыпты таралымды популяциялардың орташа шамаларының айырмашылығына қатысты интервалдық бағалау және гипотезаны тексеру мәселесі. Бұл мәселе екі популяцияның дисперсиялары тең деп есептелмейтін жағдайда, екі тәуелсіз үлгі негізінде шешіледі.

Ерекшеліктер

Бехренс-Фишер проблемасы мен ұсынылған шешімдерін талқылаудағы бір қиындық – "Бехренс-Фишер проблемасы" дегеннің қандай екеніне қатысты көптеген әртүрлі түсініктемелердің болуы. Бұл айырмашылықтар тек қана тиісті шешім деп саналатыны ғана емес, сонымен қатар қарастырылып отырған жағдайдың өзінің негізгі тұжырымын да қамтиды.

Контекст

X1, …, Xn және Y1, …, Ym екі популяциядан тәуелсіз және бірдей таралымнан алынған үлгілер болсын, олардың екеуі де бірдей орналасу-масштабты таралым отбасынан шыққан. Масштаб параметрлері белгісіз және міндетті түрде бірдей емес деп есептеледі, ал мәселе орналасу параметрлерін тең деп қарастыруға болатынын бағалау болып табылады. Леманн "Бехренс-Фишер проблемасы" осы модельдің таралым отбасы кез келген болған кезде де, және таралым қалыпты таралымға шектелген кезде де қолданылады деп мәлімдейді. Леманн жалпы проблемаға бірнеше тәсілдерді талқыласа да, негізінен параметрлік емес әдістерге сүйенеді, ал көптеген басқа көздер "Бехренс-Фишер проблемасын" тек таралым қалыпты деп есептелетін жағдайды қарастыру үшін қолданады: осы мақаланың көп бөлігі осы болжамды қабылдайды.

Ерітінділерге қойылатын талаптар

Behrens–Fisher проблемасының классикалық немесе Байестік қорытындылау көзқарасын пайдаланатын шешімдері ұсынылған, және кез келген шешім екінші көзқарас тұрғысынан қарағанда шартты түрде жарамсыз болып табылады. Егер қарастыру тек классикалық статистикалық қорытындылаумен шектелсе, онда қорытындылау мәселесіне практикалық тұрғыдан қолдануға оңай шешімдер іздеуге болады, мұнда қарапайымдыққа, сәйкес ықтималдық мәлімдемелеріндегі кез келген қателіктен артықшылық беріледі. Статистикалық тесттердің маңыздылық деңгейлерінің дәлдігі қажет болған жағдайда, процедура деректер жиынтығындағы статистикалық ақпаратты барынша пайдалануы керек қосымша талап болуы мүмкін. Үлгі мөлшері тең болғанға дейін үлкен деректер жиынтығынан деректерді кездейсоқ жою, деректерді жұптарға біріктіру және айырмашылықтарды есептеу, содан кейін орташа айырмашылықтың нөлге тең екенін тексеру үшін стандартты t-тестін қолдану арқылы нақты тест алуға болатыны белгілі: бұл ешқандай жағдайда "оптималды" болмайды. Бұл мәселенің интервалдық бағалауын анықтау – жиілік тәсілі нақты шешім бере алмайтын жағдай, бірақ кейбір жуықтамалар бар. Стандартты Байес тәсілдері де қарапайым формулалар түрінде берілетін жауапты қамтамасыз ете алмайды, бірақ Байес талдауының қазіргі заманғы есептеу әдістері негізінен нақты шешімдерді табуға мүмкіндік береді. Осылайша, мәселені зерттеу интервалдық бағалауға қатысты жиілік және Байес тәсілдері арасындағы айырмашылықтарды түсіндіру үшін қолданылуы мүмкін.

Берренс пен Фишердің әдісі

Рональд Фишер 1935 жылы осы мәселеге қолдану үшін сенімділік инференциясын енгізді. Ол 1929 жылы Уолтер Ульрих Беренстің бұрынғы мақаласына сілтеме жасады. Беренс пен Фишер екі сынаманың орташа мәні және s1 және s2 олардың стандартты ауытқуларының ықтималдық үлестірімін табуды ұсынды. Бехренс-Фишер үлестірімін қараңыз. Фишер стандартты ауытқулардың салыстырмалы шамаларының кездейсоқ өзгеруін ескермей, осы үлестірілімді жуықтады. Фишердің шешімі дау тудырды, себебі егер орташа мәндер шындығында тең болса, тең орташа мәндер туралы гипотеза α ықтималдығымен қабылданбауы керек еді. Содан бері проблеманы шешудің көптеген басқа әдістері ұсынылды және нәтижедегі сенімділік интервалдарына тигізетін әсері зерттелді.

Жалпы және жалпыланған Бехренс-Фишер проблемаларының нақты шешімдері

Бірнеше онжылдық бойы, жалпы Behrens–Fisher проблемасының толық шешімі жоқ деп кеңінен қабылданатын еді. Алайда, 1966 жылы оның толық шешімі бар екені дәлелденді. 2018 жылы m орташа және m ерекше стандартты қателердің жалпыланған Behrens–Fisher таралымының ықтималдық тығыздық функциясы дәлелденді, сондай-ақ оның асимптотикалық жуықтамалары зерттелді. Одан кейінгі мақала классикалық жұпталған t-тестісінің нөлдік емес популяциялық корреляциялық коэффициенті бар орталық Behrens–Fisher проблемасы екенін көрсетті және оның сәйкес ықтималдық тығыздық функциясы, нөлдік емес популяциялық корреляциялық коэффициенті бар байланысты орталық емес Behrens–Fisher проблемасын шешу арқылы туындады. Сонымен қатар, қосымшада нөлдік емес популяциялық корреляциялық коэффициенті бар, жалпы емес орталық емес Behrens–Fisher проблемасы шешілді. Осы жағдайдағы мәселе, егер екі популяциялық орташа мән шындығында бірдей болса, ортақ орташа мән туралы қорытындылар жасау болып табылады: мысалы, ортақ орташа мән үшін сенімділік интервалы қажет болуы мүмкін.

Жалпылау

Бір жалпылау мәселе көпөлшемді қалыпты үлестірімдерді белгісіз ковариациялық матрицалармен қамтиды және көпөлшемді Бехренс-Фишер проблемасы деп аталады. Параметриялық емес Бехренс-Фишер проблемасы үлестірімдердің қалыпты екенін қабылдамайды. Тесттерге 1968 жылғы Куккони тесті және 1971 жылғы Лепейдж тесті кіреді.