Введение

Описывает, как нейроны передают электрические сигналы.

Модель Ходжкина — Хаксли, или модель, основанная на проводимости, — это математическая модель, описывающая возникновение и распространение потенциалов действия в нейронах. Это набор нелинейных дифференциальных уравнений, аппроксимирующих электрические характеристики возбудимых клеток, таких как нейроны и мышечные клетки. Это динамическая система непрерывного времени. Алан Ходжкин и Эндрю Хаксли описали эту модель в 1952 году для объяснения ионных механизмов, лежащих в основе возникновения и распространения потенциалов действия в гигантском аксоне кальмара. За эту работу они были удостоены Нобелевской премии по физиологии и медицине в 1963 году.

Характеристика ионного тока

В вольтаж-зависимых ионных каналах проводимость канала является функцией как времени, так и напряжения (как показано на рисунке), в то время как в каналах утечки она постоянна (как показано на рисунке). Ток, генерируемый ионными насосами, зависит от специфичных для данного насоса ионов. В следующих разделах эти соотношения будут рассмотрены более подробно.

Каналы утечки

Пропускные каналы отражают естественную проницаемость мембраны для ионов и описываются уравнением, аналогичным уравнению для каналов, управляемых напряжением, где проводимость является постоянной величиной. Следовательно, ток утечки, обусловленный пассивными ионными каналами утечки в формализме Ходжкина-Хаксли, равен .

Насосы и обменники

Потенциал мембраны зависит от поддержания градиентов ионных концентраций через нее. Поддержание этих градиентов концентрации требует активного транспорта ионных видов. Наиболее известными из них являются натрий-калиевый и натрий-кальциевый обменники. Некоторые из основных свойств Na/Ca обменника уже хорошо изучены: стехиометрия обмена составляет 3 Na+: 1 Ca2+, и обменник является электрогенным и чувствительным к напряжению. Na/K обменник также был подробно описан, с стехиометрией 3 Na+: 2 K+.

Математические свойства

Модель Ходжкина-Хаксли можно рассматривать как систему дифференциальных уравнений с четырьмя переменными состояния, , и , изменяющимися во времени. Изучение системы затруднено из-за её нелинейности, невозможности аналитического решения и, следовательно, отсутствия решения в замкнутой форме. Однако для анализа системы доступно множество численных методов. Существование определенных свойств и общих закономерностей, таких как предельные циклы, может быть доказано.

Центральный коллектор

Поскольку имеется четыре переменные состояния, визуализация траектории в фазовом пространстве может быть затруднительной. Обычно выбирают две переменные – напряжение и переменную открытия калиевых каналов, что позволяет визуализировать предельный цикл. Однако следует проявлять осторожность, поскольку это эмпирический метод визуализации 4-мерной системы. Он не доказывает существование предельного цикла. Более точную проекцию можно построить на основе тщательного анализа якобиана системы, вычисленного в точке равновесия. В частности, собственные значения якобиана указывают на существование центрального многообразия. Аналогично, собственные векторы якобиана определяют ориентацию центрального многообразия. Модель Ходжкина — Хаксли имеет два отрицательных собственных значения и два комплексных собственных значения с небольшими положительными действительными частями. Собственные векторы, соответствующие двум отрицательным собственным значениям, стремятся к нулю с увеличением времени t. Оставшиеся два комплексных собственных вектора определяют центральное многообразие. Иными словами, 4-мерная система проецируется на 2-мерную плоскость. Любое решение, начинающееся вне центрального многообразия, будет стремиться к нему. Более того, предельный цикл лежит на центральном многообразии.

Бифуркации

Если бы инжектируемый ток использовался в качестве параметра бифуркации, то модель Ходжкина — Хаксли претерпевает бифуркацию Хопфа. Как и в большинстве нейронных моделей, увеличение инжектируемого тока повышает частоту возбуждения нейрона. Одним из следствий бифуркации Хопфа является существование минимальной частоты возбуждения. Это означает, что нейрон либо вообще не возбуждается (что соответствует нулевой частоте), либо возбуждается с минимальной частотой. В силу принципа "всё или ничего" не наблюдается плавного увеличения амплитуды потенциала действия, а происходит резкий "скачок" амплитуды. Получающийся переход известен как кана́рд.

Улучшения и альтернативные модели

Модель Ходжкина-Хаксли считается одним из величайших достижений биофизики XX века. Тем не менее, современные модели типа Ходжкина-Хаксли были расширены несколькими важными способами: в модели были добавлены дополнительные популяции ионных каналов на основе экспериментальных данных. Модель Ходжкина-Хаксли была модифицирована с использованием теории переходного состояния для создания термодинамических моделей Ходжкина-Хаксли. Модели часто включают в себя сложные геометрические формы дендритов и аксонов, часто основанные на данных микроскопии. Модели, основанные на проводимости, подобные модели Ходжкина-Хаксли, включают знания о типах клеток, определенных с помощью одноклеточной транскриптомики. Разработаны стохастические модели поведения ионных каналов, приводящие к стохастическим гибридным системам. Модель Пуассона-Нернста-Планка (PNP) основана на приближении среднего поля для ионных взаимодействий и континуальном описании концентрации и электростатического потенциала. Также было разработано несколько упрощенных нейронных моделей (например, модель ФитцХью-Нагумо), что облегчает эффективное крупномасштабное моделирование групп нейронов и обеспечивает математическое понимание динамики генерации потенциала действия.