Суммы Клоостермана: определение, свойства и применение в математике. Экспоненциальные суммы, введенные Х. Клоостерманом в 1926 году. Аналог функций Бесселя.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
В математике, сумма Клоостермана — это особый вид экспоненциальной суммы. Они названы в честь голландского математика Хендрика Клоостермана, который ввёл их в 1926 году, когда он адаптировал метод круга Харди — Литтлвуда для решения задачи о положительно определённых диагональных квадратичных формах в четырёх, а не в пяти или более переменных, которые он рассматривал в своей диссертации в 1924 году. Пусть a, b, m — натуральные числа. Тогда
In mathematics, a Kloosterman sum is a particular kind of exponential sum. They are named for the Dutch mathematician Hendrik Kloosterman, who introduced them in 1926 when he adapted the Hardy–Littlewood circle method to tackle a problem involving positive definite diagonal quadratic forms in four as opposed to five or more variables, which he had dealt with in his dissertation in 1924. Let a, b, m be natural numbers. Then
Здесь x* — это обратное к x по модулю m.
Here x* is the inverse of x modulo m.
Контекст
Суммы Клостермана являются конечным кольцевым аналогом функций Бесселя. Они возникают, например, в разложении Фурье модулярных форм. Существуют приложения к средним значениям, связанным с дзета-функцией Римана, простыми числами в коротких интервалах, простыми числами в арифметических прогрессиях, спектральной теории автоморфных функций и смежным областям.
The Kloosterman sums are a finite ring analogue of Bessel functions. They occur (for example) in the Fourier expansion of modular forms. There are applications to mean values involving the Riemann zeta function, primes in short intervals, primes in arithmetic progressions, the spectral theory of automorphic functions and related topics.
Оценки
Поскольку суммы Клостермана возникают в разложении Фурье модулярных форм, оценки сумм Клостермана дают также оценки коэффициентов Фурье модулярных форм. Наиболее известная оценка принадлежит Андре Вейлю и формулируется следующим образом:
Because Kloosterman sums occur in the Fourier expansion of modular forms, estimates for Kloosterman sums yield estimates for Fourier coefficients of modular forms as well. The most famous estimate is due to André Weil and states:
Здесь – количество положительных делителей m. Благодаря мультипликативным свойствам сумм Клостермана, эти оценки можно свести к случаю, когда m является простым числом p. Фундаментальный метод Вейля позволяет упростить оценку
Here is the number of positive divisors of m. Because of the multiplicative properties of Kloosterman sums these estimates may be reduced to the case where m is a prime number p. A fundamental technique of Weil reduces the estimate
при ab ≠ 0, опираясь на его результаты по локальным дзета-функциям. Геометрически сумма вычисляется вдоль «гиперболы» XY = ab, которую мы рассматриваем как определение алгебраической кривой над конечным полем из p элементов. Эта кривая имеет ветвящееся покрытие Артина — Шрейера C, и Вейль показал, что локальная дзета-функция C имеет факторизацию; это теория L-функций Артина для случая глобальных полей, являющихся полями функций, для которого Вейль ссылается на работу Ж. Вайссингера 1938 года (в следующем году он указал на работу Хассе 1935 года как на более раннюю ссылку на эту идею; учитывая довольно пренебрежительное замечание Вейля о способностях аналитических теоретиков чисел самостоятельно вывести этот пример, в его "Собрании работ", эти идеи, вероятно, были давно известны как «фольклор»). Неполярные факторы имеют вид 1 − Kt, где K – сумма Клостермана. Оценка, таким образом, вытекает из основополагающей работы Вейля 1940 года. Этот метод, на самом деле, показывает в более общем виде, что полные экспоненциальные суммы «вдоль» алгебраических многообразий имеют хорошие оценки, зависящие от гипотез Вейля в размерности > 1. Пьер Делинь, Жерар Лаумон и Николас Кац значительно расширили эту теорию.
when ab ≠ 0 to his results on local zeta functions. Geometrically the sum is taken along a 'hyperbola' XY = ab and we consider this as defining an algebraic curve over the finite field with p elements. This curve has a ramified Artin–Schreier covering C, and Weil showed that the local zeta function of C has a factorization; this is the Artin L function theory for the case of global fields that are function fields, for which Weil gives a 1938 paper of J. Weissinger as reference (the next year he gave a 1935 paper of Hasse as earlier reference for the idea; given Weil's rather denigratory remark on the abilities of analytic number theorists to work out this example themselves, in his Collected Papers, these ideas were presumably 'folklore' of quite long standing). The non polar factors are of type 1 − Kt, where K is a Kloosterman sum. The estimate then follows from Weil's basic work of 1940. This technique in fact shows much more generally that complete exponential sums 'along' algebraic varieties have good estimates, depending on the Weil conjectures in dimension > 1. It has been pushed much further by Pierre Deligne, Gérard Laumon, and Nicholas Katz.
Формула следов Кузнецова
Формула Кузнецова или формула относительного следа связывает суммы Клостермана на глубоком уровне со спектральной теорией автоморфных форм. Изначально это можно было сформулировать следующим образом. Пусть – достаточно "хорошо себя ведущая" функция. Тогда тождество следующего типа называют формулой следа Кузнецова:
The Kuznetsov or relative trace formula connects Kloosterman sums at a deep level with the spectral theory of automorphic forms. Originally this could have been stated as follows. Let be a sufficiently "well behaved" function. Then one calls identities of the following type Kuznetsov trace formula:
Интегральная часть – это некоторое интегральное преобразование функции g, а спектральная часть – это сумма коэффициентов Фурье, взятых по пространствам голоморфных и неголоморфных модулярных форм, скрученных с некоторым интегральным преобразованием g. Формулу следа Кузнецова Кузнецов обнаружил при изучении роста автоморфных функций веса ноль. Используя оценки сумм Клостермана, он смог получить оценки коэффициентов Фурье модулярных форм в случаях, когда доказательство Пьера Делиня гипотез Вейля было неприменимо. Позже Жакке переформулировал её в рамках теории представлений. Пусть G – редуктивная группа над числовым полем F, а H – её подгруппа. В то время как обычная формула следа изучает гармонический анализ на G, формула относительного следа является инструментом для изучения гармонического анализа на симметричном пространстве G/H. Обзор и многочисленные применения можно найти в указанных источниках.
The integral transform part is some integral transform of g and the spectral part is a sum of Fourier coefficients, taken over spaces of holomorphic and non holomorphic modular forms twisted with some integral transform of g. The Kuznetsov trace formula was found by Kuznetsov while studying the growth of weight zero automorphic functions. Using estimates on Kloosterman sums he was able to derive estimates for Fourier coefficients of modular forms in cases where Pierre Deligne's proof of the Weil conjectures was not applicable. It was later translated by Jacquet to a representation theoretic framework. Let G be a reductive group over a number field F and be a subgroup. While the usual trace formula studies the harmonic analysis on G, the relative trace formula is a tool for studying the harmonic analysis on the symmetric space G/H. For an overview and numerous applications see the references.
История
Оценка Вейля теперь может быть изучена в W. M. Schmidt, Equations over finite fields: an elementary approach, 2nd ed. (Kendrick Press, 2004). Основные идеи, лежащие в основе этого, принадлежат С. Степанову и вдохновлены работами Акселя Туэ в области диофантовых приближений. Существует множество связей между суммами Клоостермана и модулярными формами. Фактически, эти суммы впервые появились (без названия) в статье Анри Пуанкаре о модулярных формах, опубликованной в 1912 году. Ханс Салье ввёл вариант суммы Клоостермана, скрученный символом Дирихле: такие суммы Салье имеют элементарное вычисление.
Weil's estimate can now be studied in W. M. Schmidt, Equations over finite fields: an elementary approach, 2nd ed. (Kendrick Press, 2004). The underlying ideas here are due to S. Stepanov and draw inspiration from Axel Thue's work in Diophantine approximation. There are many connections between Kloosterman sums and modular forms. In fact the sums first appeared (minus the name) in a 1912 paper of Henri Poincaré on modular forms. Hans Salié introduced a form of Kloosterman sum that is twisted by a Dirichlet character: Such Salié sums have an elementary evaluation.