Кіріспе
Математикада Клостерман қосындысы – экспоненциалдық қосындының нақты бір түрі. Олар голланд математигі Хендрик Клостерманның есімімен аталады, ол 1926 жылы Харди-Литлвуд шеңбер әдісін төрт айнымалыға қатысты оң анықталған диагональдік квадраттық формалармен байланысты мәселені шешу үшін бейімдеген кезде оларды енгізген. Ол бұл мәселені 1924 жылы диссертациясында қарастырған болатын. a, b, m – натурал сандар болсын. Мұнда x* – x санының m модулі бойынша кері шамасы.
Here x* is the inverse of x modulo m.
Контекст
Клостерман сомалары Бессел функцияларының шекті сақиналық аналогы болып табылады. Олар (мысалы) модульдік формалардың Фурье кеңейтуінде кездеседі. Риман зетта-функциясымен байланысты орташа мәндерді есептеуде, қысқа интервалдағы жай сандарды анықтауда, арифметикалық прогрессиядағы жай сандарды зерттеуде, автоморфтық функциялардың спектрлік теориясында және басқа да ұқсас мәселелерде қолданылады.
Есепті баға
Клостерман сомалары модульдік формалардың Фурье кеңейтуінде кездесетіндіктен, Клостерман сомаларына жасалған бағалаулар модульдік формалардың Фурье коэффициенттері үшін де бағалаулар береді. Ең белгілі бағалау Андре Вейльге тиесілі және былай тұжырымдалады: М-нің оң бөлгіштерінің саны осында. Клостерман сомаларының мультипликативті қасиеттеріне байланысты, бұл бағалаулар m – жай сан p болған жағдайда қарастырылуы мүмкін. Вейльдің негізгі әдісі ab ≠ 0 жағдайындағы бағалауды оның жергілікті дзета-функциялар бойынша нәтижелеріне дейін кемітеді. Геометриялық тұрғыдан алғанда, сома "гипербола" XY = ab бойында алынады және біз оны p элементі бар шекті өріс үстінде анықталған алгебралық қисық деп қарастырамыз. Бұл қисықтың Артин–Шрайер жабыны C тармақталған, және Вейль C-тің жергілікті дзета-функциясының факторлануы бар екенін көрсетті; бұл жағдайда функциялық өрістердің глобальды өрістері үшін Артин L-функциясы теориясы болып табылады, және Вейль 1938 жылғы Ж. Вейсингердің мақаласын сілтеме ретінде келтіреді (кейін, 1935 жылғы Хассе мақаласын идеяға ертерек сілтеме ретінде берді; Вейльдің аналитикалық сандар теориясымен айналысатындардың осы мысалды өздері шеше алатын қабілеттеріне қатысты сынды ескере отырып, оның жинақталған еңбектерінде бұл идеялар ұзақ жылдар бойы қолданылып келген «халықтық білім» болған деп есептеуге болады). Поляр емес факторлар 1 − Kt түрінде болады, мұнда K – Клостерман сомасы. Бағалау Вейльдің 1940 жылғы негізгі жұмысынан туындайды. Бұл әдіс, шын мәнінде, алгебралық сорттардың «бойымен» алынған толық экспоненциалдық сомалардың Weil болжамдарына байланысты > 1 өлшемде жақсы бағалаулары бар екенін көрсетеді. Пьер Делинь, Жерар Лаумон және Николас Кац оны одан да әрі дамытты.
Here is the number of positive divisors of m. Because of the multiplicative properties of Kloosterman sums these estimates may be reduced to the case where m is a prime number p. A fundamental technique of Weil reduces the estimate
when ab ≠ 0 to his results on local zeta functions. Geometrically the sum is taken along a 'hyperbola' XY = ab and we consider this as defining an algebraic curve over the finite field with p elements. This curve has a ramified Artin–Schreier covering C, and Weil showed that the local zeta function of C has a factorization; this is the Artin L function theory for the case of global fields that are function fields, for which Weil gives a 1938 paper of J. Weissinger as reference (the next year he gave a 1935 paper of Hasse as earlier reference for the idea; given Weil's rather denigratory remark on the abilities of analytic number theorists to work out this example themselves, in his Collected Papers, these ideas were presumably 'folklore' of quite long standing). The non polar factors are of type 1 − Kt, where K is a Kloosterman sum. The estimate then follows from Weil's basic work of 1940. This technique in fact shows much more generally that complete exponential sums 'along' algebraic varieties have good estimates, depending on the Weil conjectures in dimension > 1. It has been pushed much further by Pierre Deligne, Gérard Laumon, and Nicholas Katz.
Кузнецовтың іздік формуласы
Кузнецов немесе салыстырмалы із формуласы Клостерман сомаларын автоматты формалардың спектрлік теориясымен терең байланыстырады. Бастапқыда бұл былай тұжырымдалуы мүмкін еді. болсын, жеткілікті түрде "жақсы қасиеттері бар" функция. Содан кейін, келесі типтегі теңдіктер Кузнецов із формуласы деп аталады:
Интегралды түрлендіру бөлігі – g функциясының бір интегралды түрлендіруі, ал спектрлік бөлігі – g функциясының бір интегралды түрлендіруімен бұралған голоморфты және голоморфты емес модульдік формалар кеңістіктері бойынша алынған Фурье коэффициенттерінің қосындысы. Кузнецов із формуласын Кузнецов нөлдік салмақты автоматты функциялардың өсуін зерттеген кезде тапқан. Клостерман сомаларына жасалған бағалаулар арқылы, ол Пьер Делиньнің Вейль болжамдарының дәлелдемесі қолданылмаған жағдайларда модульдік формалардың Фурье коэффициенттеріне бағалаулар шығаруға қол жеткізді. Кейіннен Жаке бұл формуланы бейнелеу теориясының аясына аударды. G сандық өріс F-тің редуктивті тобы, ал H – оның ішкі тобы болсын. Әдеттегі із формуласы G-дегі гармониялық талдауды зерттейді, ал салыстырмалы із формуласы G/H симметриялық кеңістігіндегі гармониялық талдауды зерттеуге арналған құрал болып табылады. Толық көрініс және көптеген қолданыстары үшін сілтемелерге қараңыз.
Тарих
Вейльдің бағалауын қазір В. М. Шмидттің "Текшелігі шекті өрістердегі теңдеулер: элементарлық тәсіл" кітабында қарастыруға болады (Кендрик Пресс, 2004). Мұндағы негізгі ойлар С. Степановқа тиесілі және Диофантикалық жуықтау саласындағы Аксель Тьюдің еңбектерінен шабыттандырылған. Клостерман сомалары мен модульдік формалардың арасында көптеген байланыстар бар. Шындығында, бұл сомалар алғаш рет (аты аталмаған) 1912 жылы Анри Пуанкаренің модульдік формалар туралы мақаласында пайда болған. Ханс Салиэ Дирихле мінездемесімен бұрылған Клостерман сомасының бір түрін енгізді: Мұндай Салиэ сомалары элементарлық түрде есептелуі мүмкін.