Введение

В математике свободная булева алгебра — это булева алгебра с выделенным множеством элементов, называемых образующими, такими что:
Каждый элемент булевой алгебры может быть представлен в виде конечной комбинации образующих с использованием булевых операций, и
Образующие максимально независимы, в том смысле, что между ними нет соотношений (выраженных конечными выражениями с использованием булевых операций), которые не выполнялись бы в любой булевой алгебре, независимо от выбора её элементов.

Теоретическое определение категории

На языке теории категорий свободные булевы алгебры могут быть определены просто в терминах присоединения между категорией множеств и функций, Set, и категорией булевых алгебр и булевых алгебраических гомоморфизмов, BA. На самом деле, этот подход обобщается на любую алгебраическую структуру, определяемую в рамках универсальной алгебры. Выше мы сказали, что свободная булева алгебра – это булева алгебра с набором генераторов, которые ведут себя определенным образом; альтернативно, можно начать с множества и спросить, какую алгебру оно порождает. Каждое множество X порождает свободную булеву алгебру FX, определяемую как алгебра, такая, что для каждой алгебры B и функции f : X → B существует единственный булев алгебраический гомоморфизм f′ : FX → B, расширяющий f. Диаграмматически,

где iX – включение, а пунктирная стрелка обозначает единственность. Идея заключается в том, что как только выбран способ отображения элементов X, законы для булевых алгебраических гомоморфизмов определяют, куда отображать все остальное в свободной алгебре FX. Если бы FX содержал элементы, не выразимые как комбинации элементов X, то f′ не было бы единственным, а если бы элементы X не были достаточно независимыми, то f′ не было бы определено однозначно! Легко показать, что FX уникальна (с точностью до изоморфизма), поэтому это определение имеет смысл. Также легко показать, что свободная булева алгебра с генерирующим множеством X, как это было определено изначально, изоморфна FX, поэтому оба определения согласуются. Один недостаток вышеуказанного определения заключается в том, что диаграмма не отражает, что f′ является гомоморфизмом; поскольку это диаграмма в Set, каждая стрелка обозначает лишь функцию. Мы можем исправить это, разделив ее на две диаграммы, одну в BA и одну в Set. Чтобы связать эти две диаграммы, мы вводим функтор U : BA → Set, который "забывает" алгебраическую структуру, отображая алгебры и гомоморфизмы в их базовые множества и функции. Если мы интерпретируем верхнюю стрелку как диаграмму в BA, а нижний треугольник – как диаграмму в Set, то эта диаграмма правильно выражает, что каждая функция f : X → UB расширяется до единственного булева алгебраического гомоморфизма f′ : FX → B. Функтор U можно рассматривать как устройство для "вытягивания" гомоморфизма f′ обратно в Set, чтобы его можно было соотнести с f.

Замечательным аспектом этого является то, что последняя диаграмма является одним из различных (эквивалентных) определений присоединенности двух функторов. Наша F легко расширяется до функтора Set → BA, и наше определение порождения свободной булевой алгебры FX множеством X заключается именно в том, что U имеет левое присоединенное отображение F.

Топологическая реализация

Свободная булева алгебра с κ генераторами, где κ – конечное или бесконечное кардинальное число, может быть представлена как множество всех клопенных подмножеств {0,1}κ, наделённое топологией произведения, при условии, что {0,1} имеет дискретную топологию. Для каждого α < κ, α-й генератор – это множество всех элементов {0,1}κ, у которых α-я координата равна 1. В частности, свободная булева алгебра с генераторами является множеством всех клопенных подмножеств пространства Кантора, иногда называемым алгеброй Кантора. Это множество счетно. Действительно, в то время как свободная булева алгебра с n генераторами, где n конечно, имеет мощность , свободная булева алгебра с генераторами, как и любая свободная алгебра с генераторами и счетным числом финитарных операций, имеет мощность . Более подробную информацию об этом топологическом подходе к свободным булевым алгебрам можно найти в теореме о представлении Стоуна для булевых алгебр.