Кіріспе
Математикада, еркін Буль алгебрасы – генераторлар деп аталатын ерекше элементтер жиыны бар Буль алгебрасы, онда:
Буль алгебрасының әрбір элементі Буль операцияларын қолдана отырып, генераторлардың шекті комбинациясы түрінде өрнектеле алады, және
Генераторлар мүмкіндігінше тәуелсіз, яғни олардың арасында ешқандай қатынас жоқ (тағы да Буль операцияларын қолдана отырып, шекті өрнектермен көрсетілген), ол кез келген Буль алгебрасында, қандай элементтер таңдалғанына қарамастан, орындалмайды.
Each element of the Boolean algebra can be expressed as a finite combination of generators, using the Boolean operations, and
The generators are as independent as possible, in the sense that there are no relationships among them (again in terms of finite expressions using the Boolean operations) that do not hold in every Boolean algebra no matter which elements are chosen.
Санаты бойынша теориялық анықтама
Категориялар теориясының тілінде еркін Буль алгебралары жиындар мен функциялар категориясы, Set, және Буль алгебралары мен Буль алгебрасы гомоморфизмдері, BA категориясы арасындағы қосымшалық арқылы қарапайым түрде анықталуы мүмкін. Шындығында, бұл тәсіл әмбебап алгебра шеңберінде анықталатын кез келген алгебралық құрылымға жалпыланады. Жоғарыда айтқанымыздай, еркін Буль алгебрасы – белгілі бір тәртіпте әрекет ететін генераторлар жиынымен Буль алгебрасы; немесе, керісінше, жиынтықтан бастап, ол қандай алгебраны тудыратынын сұрауға болады. Кез келген жиынтық X, FX деп аталатын еркін Буль алгебрасын тудырады, бұл алгебра кез келген алгебра B және функция f : X → B үшін, f-ты кеңейтетін FX → B бірегей Буль алгебрасы гомоморфизмі f′ болады. Диаграммалық түрде:
where iX is the inclusion, and the dashed arrow denotes uniqueness. The idea is that once one chooses where to send the elements of X, the laws for Boolean algebra homomorphisms determine where to send everything else in the free algebra FX. If FX contained elements inexpressible as combinations of elements of X, then f′ wouldn't be unique, and if the elements of X weren't sufficiently independent, then f′ wouldn't be well defined! It is easily shown that FX is unique (up to isomorphism), so this definition makes sense. It is also easily shown that a free Boolean algebra with generating set X, as defined originally, is isomorphic to FX, so the two definitions agree. One shortcoming of the above definition is that the diagram doesn't capture that f′ is a homomorphism; since it is a diagram in Set each arrow denotes a mere function. We can fix this by separating it into two diagrams, one in BA and one in Set. To relate the two, we introduce a functor U : BA → Set that "forgets" the algebraic structure, mapping algebras and homomorphisms to their underlying sets and functions. If we interpret the top arrow as a diagram in BA and the bottom triangle as a diagram in Set, then this diagram properly expresses that every function f : X → UB extends to a unique Boolean algebra homomorphism f′ : FX → B. The functor U can be thought of as a device to pull the homomorphism f′ back into Set so it can be related to f.
The remarkable aspect of this is that the latter diagram is one of the various (equivalent) definitions of when two functors are adjoint. Our F easily extends to a functor Set → BA, and our definition of X generating a free Boolean algebra FX is precisely that U has a left adjoint F.
мұнда iX – кіріктіру, ал пунктирленген жебе – бірегейлікті білдіреді. Идеясы мынада: X элементтерін қайда жіберуді таңдағаннан кейін, Буль алгебрасы гомоморфизмдерінің заңдары еркін алгебра FX-тың қалған барлық элементтерін қайда жіберуді анықтайды. Егер FX, X элементтерінің комбинациялары арқылы өрнектеуге болмайтын элементтерді қамтыса, онда f′ бірегей болмас еді, ал егер X элементтері жеткілікті түрде тәуелсіз болмаса, онда f′ дұрыс анықталмас еді! FX бірегей екені (изоморфизмге дейін) оңай көрсетіледі, сондықтан бұл анықтама мағыналы. Сондай-ақ, бастапқыда анықталғандай, X жиынымен тудырылған еркін Буль алгебрасы FX-қа изоморфты екені оңай көрсетіледі, сондықтан екі анықтама да сәйкес келеді. Жоғарыдағы анықтаманың бір кемшілігі – диаграмма f′ гомоморфизм екенін көрсете алмайды; өйткені бұл Set диаграммасы, әр жебе тек функцияны білдіреді. Бұл кемшілікті жою үшін оны екі диаграммаға бөлуге болады: біреуі BA-да, екіншісі Set-те. Екеуін байланыстыру үшін U : BA → Set функторын енгіземіз, ол алгебралық құрылымды «ұмытады», алгебралар мен гомоморфизмдерді олардың негізгі жиындары мен функцияларына бейімдейді. Егер жоғарғы жебені BA диаграммасы ретінде, ал төменгі үшбұрышты Set диаграммасы ретінде қарастырсақ, онда бұл диаграмма f : X → UB кез келген функциясының бірегей Буль алгебрасы гомоморфизміне дейін f′ : FX → B кеңейтілетінін дұрыс көрсетеді. U функторын f′ гомоморфизмін Set-ке қайтару құралы ретінде қарастыруға болады, осылайша ол f-пен байланысты болуы мүмкін. Бұның ерекшелігі – соңғы диаграмма екі функтордың қосымша екенін анықтаудың әртүрлі (эквивалентті) тәсілдерінің бірі болып табылады. Біздің F функторы оңай Set → BA функторына кеңейеді, ал X жиынының FX еркін Буль алгебрасын тудыруы туралы біздің анықтамамыз U-нің сол жақ қосымшасы F бар екенін нақты көрсетеді.
where iX is the inclusion, and the dashed arrow denotes uniqueness. The idea is that once one chooses where to send the elements of X, the laws for Boolean algebra homomorphisms determine where to send everything else in the free algebra FX. If FX contained elements inexpressible as combinations of elements of X, then f′ wouldn't be unique, and if the elements of X weren't sufficiently independent, then f′ wouldn't be well defined! It is easily shown that FX is unique (up to isomorphism), so this definition makes sense. It is also easily shown that a free Boolean algebra with generating set X, as defined originally, is isomorphic to FX, so the two definitions agree. One shortcoming of the above definition is that the diagram doesn't capture that f′ is a homomorphism; since it is a diagram in Set each arrow denotes a mere function. We can fix this by separating it into two diagrams, one in BA and one in Set. To relate the two, we introduce a functor U : BA → Set that "forgets" the algebraic structure, mapping algebras and homomorphisms to their underlying sets and functions. If we interpret the top arrow as a diagram in BA and the bottom triangle as a diagram in Set, then this diagram properly expresses that every function f : X → UB extends to a unique Boolean algebra homomorphism f′ : FX → B. The functor U can be thought of as a device to pull the homomorphism f′ back into Set so it can be related to f.
The remarkable aspect of this is that the latter diagram is one of the various (equivalent) definitions of when two functors are adjoint. Our F easily extends to a functor Set → BA, and our definition of X generating a free Boolean algebra FX is precisely that U has a left adjoint F.
Топологиялық іске асыру
К-генераторлары бар еркін Буль алгебрасы, мұнда К – шекті немесе шексіз кардинал сан, {0,1}<sup>κ</sup>-нің барлық клопенді кіші жиынтықтарының жиынтығы ретінде іске асырылуы мүмкін, өнім топологиясы {0,1} дискретті топологияға ие деп есептегенде. Әр α<κ үшін, α-шы генератор – α-шы координатасы 1 болатын {0,1}<sup>κ</sup>-нің барлық элементтерінің жиынтығы. Атап айтқанда, генераторлары бар еркін Буль алгебрасы – Кантор кеңістігінің барлық клопенді кіші жиынтықтарының жиынтығы, кейде Кантор алгебрасы деп аталады. Бұл жинақ санаулы. Шындығында, n генераторлары бар еркін Буль алгебрасы, n шекті болса, кардиналдылығы 2<sup>n</sup>-ге тең, ал генераторлары бар еркін Буль алгебрасы, кез келген генераторлары бар еркін алгебра және санаулы көптеген шекті операциялар үшін, кардиналдылығы ℵ<sub>0</sub>-ге тең. Бұл топологиялық тәсіл туралы толық ақпарат алу үшін, Буль алгебралары үшін Стоунның бейнелеу теоремасына қараңыз.
For more on this topological approach to free Boolean algebra, see Stone's representation theorem for Boolean algebras.