Вращение вокруг неподвижной оси: основы и кинематика.
Rotation around a fixed axis
Вращение вокруг фиксированной оси: определение, теорема Эйлера, упрощенная кинематика и динамика. Объяснение стабильного вращения и отличия от свободного вращения.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Тип движения
Type of motion
Вращение вокруг фиксированной оси, или осевое вращение, является частным случаем вращательного движения вокруг оси вращения, которая является фиксированной, неподвижной или стационарной в трехмерном пространстве. Этот тип движения исключает возможность изменения ориентации мгновенной оси вращения и не может описать такие явления, как колебания или прецессия. Согласно теореме Эйлера об вращении, одновременное вращение вокруг нескольких неподвижных осей невозможно; если приложить два вращения одновременно, возникнет новая ось вращения. Данная концепция подразумевает, что вращение также устойчиво, то есть для его поддержания не требуется момент силы. Кинематика и динамика вращения вокруг фиксированной оси жесткого тела математически значительно проще, чем кинематика и динамика свободного вращения жесткого тела; они полностью аналогичны кинематике и динамике прямолинейного движения вдоль одного фиксированного направления, что не применимо к свободному вращению жесткого тела. Выражения для кинетической энергии объекта и для сил, действующих на его части, также проще для вращения вокруг фиксированной оси, чем для общего вращательного движения. По этим причинам вращение вокруг фиксированной оси обычно изучают на вводных курсах физики после освоения студентами прямолинейного движения; полная общность вращательного движения обычно не рассматривается на вводных курсах физики.
Rotation around a fixed axis or axial rotation is a special case of rotational motion around an axis of rotation fixed, stationary, or static in three dimensional space. This type of motion excludes the possibility of the instantaneous axis of rotation changing its orientation and cannot describe such phenomena as wobbling or precession. According to Euler's rotation theorem, simultaneous rotation along a number of stationary axes at the same time is impossible; if two rotations are forced at the same time, a new axis of rotation will result. This concept assumes that the rotation is also stable, such that no torque is required to keep it going. The kinematics and dynamics of rotation around a fixed axis of a rigid body are mathematically much simpler than those for free rotation of a rigid body; they are entirely analogous to those of linear motion along a single fixed direction, which is not true for free rotation of a rigid body. The expressions for the kinetic energy of the object, and for the forces on the parts of the object, are also simpler for rotation around a fixed axis, than for general rotational motion. For these reasons, rotation around a fixed axis is typically taught in introductory physics courses after students have mastered linear motion; the full generality of rotational motion is not usually taught in introductory physics classes.
Перевод и ротация
Жесткое тело — это объект конечного размера, в котором все расстояния между составляющими частицами остаются постоянными. Истинно жестких тел не существует; внешние силы способны деформировать любое твердое тело. Для наших целей жестким телом будем считать твердое тело, деформирование которого требует значительных усилий. Изменение положения частицы в трехмерном пространстве полностью определяется тремя координатами. Описание изменения положения жесткого тела более сложно. Его можно представить как комбинацию двух различных типов движения: поступательного и вращательного. Чисто поступательное движение возникает, когда каждая частица тела имеет одинаковую мгновенную скорость относительно всех остальных частиц; в этом случае траектория любой частицы точно параллельна траектории любой другой частицы в теле. При поступательном движении изменение положения жесткого тела полностью задается тремя координатами, например, x, y и z, определяющими смещение любой точки, такой как центр масс, жестко связанной с телом. Чисто вращательное движение происходит, если каждая частица тела движется по окружности вокруг одной и той же прямой. Эта прямая называется осью вращения. В этом случае радиус-векторы от оси до всех частиц испытывают одинаковое угловое смещение одновременно. Ось вращения не обязательно должна проходить через тело. В общем случае любое вращение полностью определяется тремя угловыми смещениями относительно прямоугольных координатных осей x, y и z. Таким образом, любое изменение положения жесткого тела полностью описывается тремя поступательными и тремя вращательными координатами. Любое смещение жесткого тела можно получить, сначала приложив смещение, а затем вращение, или наоборот – сначала вращение, а затем смещение. Мы уже знаем, что для любой совокупности частиц – будь то находящихся в состоянии покоя относительно друг друга, как в жестком теле, или в относительном движении, например, осколки взрыва снаряда – ускорение центра масс определяется формулой
A rigid body is an object of a finite extent in which all the distances between the component particles are constant. No truly rigid body exists; external forces can deform any solid. For our purposes, then, a rigid body is a solid which requires large forces to deform it appreciably. A change in the position of a particle in three dimensional space can be completely specified by three coordinates. A change in the position of a rigid body is more complicated to describe. It can be regarded as a combination of two distinct types of motion: translational motion and circular motion. Purely translational motion occurs when every particle of the body has the same instantaneous velocity as every other particle; then the path traced out by any particle is exactly parallel to the path traced out by every other particle in the body. Under translational motion, the change in the position of a rigid body is specified completely by three coordinates such as x, y, and z giving the displacement of any point, such as the center of mass, fixed to the rigid body. Purely rotational motion occurs if every particle in the body moves in a circle about a single line. This line is called the axis of rotation. Then the radius vectors from the axis to all particles undergo the same angular displacement at the same time. The axis of rotation need not go through the body. In general, any rotation can be specified completely by the three angular displacements with respect to the rectangular coordinate axes x, y, and z. Any change in the position of the rigid body is thus completely described by three translational and three rotational coordinates. Any displacement of a rigid body may be arrived at by first subjecting the body to a displacement followed by a rotation, or conversely, to a rotation followed by a displacement. We already know that for any collection of particles—whether at rest with respect to one another, as in a rigid body, or in relative motion, like the exploding fragments of a shell, the acceleration of the center of mass is given by
где M — общая масса системы, а acm — ускорение центра масс. Остается вопрос об описании вращения тела вокруг центра масс и установлении связи между ним и внешними силами, действующими на тело. Кинематика и динамика вращательного движения вокруг одной оси аналогичны кинематике и динамике поступательного движения; вращательное движение вокруг одной оси даже имеет теорему о работе и энергии, аналогичную теореме динамики частицы.
where M is the total mass of the system and acm is the acceleration of the center of mass. There remains the matter of describing the rotation of the body about the center of mass and relating it to the external forces acting on the body. The kinematics and dynamics of rotational motion around a single axis resemble the kinematics and dynamics of translational motion; rotational motion around a single axis even has a work energy theorem analogous to that of particle dynamics.
Момент инерции
Момент инерции объекта, обозначаемый , является мерой сопротивления объекта изменению его вращения. Момент инерции измеряется в килограмм-метре в квадрате (кг·м²). Он зависит от массы объекта: увеличение массы объекта увеличивает момент инерции. Он также зависит от распределения массы: распределение массы на большем расстоянии от центра вращения увеличивает момент инерции в большей степени. Для отдельной частицы массы на расстоянии от оси вращения момент инерции определяется как
The moment of inertia of an object, symbolized by , is a measure of the object's resistance to changes to its rotation. The moment of inertia is measured in kilogram metre² (kg m2). It depends on the object's mass: increasing the mass of an object increases the moment of inertia. It also depends on the distribution of the mass: distributing the mass further from the center of rotation increases the moment of inertia by a greater degree. For a single particle of mass a distance from the axis of rotation, the moment of inertia is given by
Векторное выражение
Вышеописанное является частным случаем общего вращательного движения. В общем случае, угловое перемещение, угловая скорость, угловое ускорение и момент силы рассматриваются как векторы. Угловое перемещение рассматривается как вектор, направленный вдоль оси, модуль которого равен углу поворота. Для определения направления вектора вдоль оси используется правило правой руки: если пальцы правой руки свернуты в направлении вращения объекта, то большой палец указывает направление вектора. Вектор угловой скорости также направлен вдоль оси вращения так же, как и угловое перемещение, которое он вызывает. Если диск вращается против часовой стрелки при взгляде сверху, его вектор угловой скорости направлен вверх. Аналогично, вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в том же направлении, в котором был бы направлен вектор угловой скорости, если бы угловое ускорение сохранялось длительное время. Вектор момента силы направлен вдоль оси, вокруг которой этот момент силы стремится вызвать вращение. Для поддержания вращения вокруг фиксированной оси, результирующий вектор момента силы должен быть направлен вдоль этой оси, изменяя только величину, но не направление вектора угловой скорости. В случае шарнира, только составляющая вектора момента силы, направленная вдоль оси, оказывает влияние на вращение, а остальные силы и моменты компенсируются конструкцией.
The above development is a special case of general rotational motion. In the general case, angular displacement, angular velocity, angular acceleration, and torque are considered to be vectors. An angular displacement is considered to be a vector, pointing along the axis, of magnitude equal to that of A right hand rule is used to find which way it points along the axis; if the fingers of the right hand are curled to point in the way that the object has rotated, then the thumb of the right hand points in the direction of the vector. The angular velocity vector also points along the axis of rotation in the same way as the angular displacements it causes. If a disk spins counterclockwise as seen from above, its angular velocity vector points upwards. Similarly, the angular acceleration vector points along the axis of rotation in the same direction that the angular velocity would point if the angular acceleration were maintained for a long time. The torque vector points along the axis around which the torque tends to cause rotation. To maintain rotation around a fixed axis, the total torque vector has to be along the axis, so that it only changes the magnitude and not the direction of the angular velocity vector. In the case of a hinge, only the component of the torque vector along the axis has an effect on the rotation, other forces and torques are compensated by the structure.
Постоянная угловая скорость
Самый простой случай вращения вокруг фиксированной оси – это случай постоянной угловой скорости. Тогда суммарный крутящий момент равен нулю. Например, вращение Земли вокруг своей оси характеризуется очень малым трением. В случае вентилятора, двигатель создает крутящий момент для компенсации сил трения. Аналогично вентилятору, оборудование, используемое в массовом производстве, эффективно демонстрирует вращение вокруг фиксированной оси. Например, многошпиндельный токарный станок вращает заготовку вокруг своей оси, что эффективно повышает производительность резки, деформации и точения. Угол поворота является линейной функцией времени, и его значение по модулю 360° представляет собой периодическую функцию. Примером может служить задача двух тел с круговыми орбитами.
The simplest case of rotation around a fixed axis is that of constant angular speed. Then the total torque is zero. For the example of the Earth rotating around its axis, there is very little friction. For a fan, the motor applies a torque to compensate for friction. Similar to the fan, equipment found in the mass production manufacturing industry demonstrate rotation around a fixed axis effectively. For example, a multi spindle lathe is used to rotate the material on its axis to effectively increase the productivity of cutting, deformation and turning operations. The angle of rotation is a linear function of time, which modulo 360° is a periodic function. An example of this is the two body problem with circular orbits.
Центрипетальная сила
Внутреннее напряжение при растяжении обеспечивает центростремительную силу, которая удерживает вращающийся объект вместе. Модель твердого тела не учитывает сопутствующую деформацию. Если тело не является твердым, эта деформация приведет к изменению его формы. Это проявляется в изменении формы объекта под действием так называемой "центробежной силы". Небесные тела, вращающиеся друг вокруг друга, часто имеют эллиптические орбиты. Частный случай круговых орбит является примером вращения вокруг фиксированной оси: эта ось проходит через центр масс перпендикулярно плоскости движения. Центростремительная сила обеспечивается гравитацией, см. также задачу двух тел. Это обычно применимо и к вращающимся небесным телам, поэтому им не обязательно быть твердыми, чтобы удерживаться вместе, если только угловая скорость не слишком велика по отношению к их плотности. (Однако, они будут стремиться к сплюснутой форме.) Например, вращающемуся небесному телу, состоящему из воды, требуется не менее 3 часов 18 минут для совершения одного оборота, независимо от размера, иначе вода разлетится. Если плотность жидкости выше, это время может быть меньше. См. орбитальный период.
Internal tensile stress provides the centripetal force that keeps a spinning object together. A rigid body model neglects the accompanying strain. If the body is not rigid this strain will cause it to change shape. This is expressed as the object changing shape due to the "centrifugal force". Celestial bodies rotating about each other often have elliptic orbits. The special case of circular orbits is an example of a rotation around a fixed axis: this axis is the line through the center of mass perpendicular to the plane of motion. The centripetal force is provided by gravity, see also two body problem. This usually also applies for a spinning celestial body, so it need not be solid to keep together unless the angular speed is too high in relation to its density. (It will, however, tend to become oblate.) For example, a spinning celestial body of water must take at least 3 hours and 18 minutes to rotate, regardless of size, or the water will separate. If the density of the fluid is higher the time can be less. See orbital period.