Теория игр и модели агрессии: война на истощение и превентивные игры.

Введение

Модель агрессии в теории игр

В теории игр «война на истощение» – это динамическая игра на время, в которой игроки выбирают момент прекращения действий, и по сути сопоставляют стратегические выгоды от переигрывания других участников с реальными затратами, возникающими с течением времени. Её точной противоположностью является игра на опережение, в которой игроки выбирают момент прекращения действий, и по сути сопоставляют стратегические издержки от переигрывания других участников с реальными выгодами, обусловленными течением времени. Модель была первоначально сформулирована Джоном Мейнардом Смитом, а смешанная эволюционно стабильная стратегия (ESS) была определена Бишопом и Каннингсом. Примером может служить аукцион второй цены, где приз достается участнику с самой высокой ставкой, а каждый участник платит сумму наименьшей ставки среди проигравших (что делает его аукционом второй цены с закрытыми ставками).

Изучение игры

Чтобы понять, как работает война истощения, рассмотрим аукцион с оплатой всех: предположим, что каждый игрок делает ставку на предмет, и тот, кто делает самую высокую ставку, выигрывает ресурс стоимостью V. Каждый игрок платит свою ставку. Другими словами, если игрок делает ставку b, то его выигрыш составит –b, если он проиграет, и V – b, если он выиграет. Наконец, предположим, что если оба игрока ставят одинаковую сумму b, то они делят стоимость V, каждый получает V/2 – b. Теперь представьте, что ставка b – это время, и это становится войной истощения, поскольку более высокая ставка обходится дорого, но более высокая ставка выигрывает приз. Важно для анализа аукциона с закрытыми ставками по принципу второй цены предположение о том, что игроки могут делать ставки на любую сумму. Ставка может даже превышать стоимость оспариваемого ресурса. Это поначалу кажется иррациональным, поскольку, казалось бы, глупо платить за ресурс больше, чем его стоимость; однако помните, что каждый участник торгов платит только самую низкую ставку. Следовательно, в интересах каждого игрока, по-видимому, было бы сделать ставку на максимально возможную сумму, а не на сумму, равную или меньшую стоимости ресурса. Однако есть одна загвоздка: если оба игрока ставят больше V, то тот, кто делает наибольшую ставку, не столько выигрывает, сколько теряет меньше. Игрок, который сделал ставку на меньшую сумму b, теряет b, а тот, кто сделал ставку на большую, теряет b – V (где в этом сценарии b > V). Эта ситуация обычно называется пирровой победой. В случае ничьей, когда b > V/2, они оба теряют b – V/2. Лус и Райффа назвали последнюю ситуацию «губительной»; оба игрока терпят убытки, и нет победителя. Из этой псевдоматрицы можно сделать вывод, что нет ставки, которая была бы выгодна во всех случаях, следовательно, нет доминирующей стратегии. Однако существуют множественные асимметричные слабые равновесия Нэша в чистых стратегиях. Например, любой игрок может зафиксировать любую ставку b ≥ V. Лучшим ответом другого игрока будет ставка, равная нулю, поскольку нет ставки, с помощью которой он мог бы выиграть приз и получить положительную выплату. Игрок с положительной ставкой в равновесии ничего не платит. Следовательно, у него нет стимула делать меньшую ставку. Это равновесие является совершенным по подзадачам. Также существует симметричное равновесие в смешанных стратегиях.

To see how a war of attrition works, consider the all pay auction: Assume that each player makes a bid on an item, and the one who bids the highest wins a resource of value V. Each player pays his bid. In other words, if a player bids b, then his payoff is b if he loses, and V b if he wins. Finally, assume that if both players bid the same amount b, then they split the value of V, each gaining V/2 b. Finally, think of the bid b as time, and this becomes the war of attrition, since a higher bid is costly, but the higher bid wins the prize. The premise that the players may bid any number is important to analysis of the all pay, sealed bid, second price auction. The bid may even exceed the value of the resource that is contested over. This at first appears to be irrational, being seemingly foolish to pay more for a resource than its value; however, remember that each bidder only pays the low bid. Therefore, it would seem to be in each player's best interest to bid the maximum possible amount rather than an amount equal to or less than the value of the resource. There is a catch, however; if both players bid higher than V, the high bidder does not so much win, but loses less. The player who bid the lesser value b loses b and the one who bid more loses b V (where, in this scenario, b>V). This situation is commonly referred to as a Pyrrhic victory. For a tie such that b>V/2, they both lose b V/2. Luce and Raiffa referred to the latter situation as a "ruinous situation"; both players suffer, and there is no winner. The conclusion one can draw from this pseudo matrix is that there is no value to bid which is beneficial in all cases, so there is no dominant strategy. However, there are multiple asymmetric weak Nash Equilibria in pure strategies. For example, either player could commit to any bid b≥V. The other player's best response is to bid zero as there is no bid with which they can win the prize and receive a positive payoff. The player with the positive bid pays nothing in equilibrium. So, they have no incentive to bid less. This equilibrium is subgame perfect. There is also a symmetric equilibrium in mixed strategies.