Преобразование Жуковского и преобразование Кармана — Треффца
Joukowsky transform
Преобразование Жуковского: в математике и аэродинамике для проектирования профилей крыла. Конформное отображение, разработанное Н.Е. Жуковским в 1910 году.
Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Введение
В математике, это тип конформного отображения.
In mathematics, a type of conformal map
В прикладной математике трансформация Жуковского (иногда транслитерируется как Джоковский, Жуковский или Жуковски) — это конформное отображение, исторически использовавшееся для понимания некоторых принципов проектирования аэродинамических профилей. Она названа в честь Николая Жуковского, который опубликовал её в 1910 году. Трансформация имеет вид:
In applied mathematics, the Joukowsky transform (sometimes transliterated Joukovsky, Joukowski or Zhukovsky) is a conformal map historically used to understand some principles of airfoil design. It is named after Nikolai Zhukovsky, who published it in 1910. The transform is
где *z* — комплексная переменная в новой области, а *w* — комплексная переменная в исходной области. В аэродинамике трансформация используется для решения задачи двухмерного потенциального течения вокруг класса аэродинамических профилей, известных как профили Жуковского. Профиль Жуковского генерируется в комплексной плоскости (плоскости *w*) путем применения трансформации Жуковского к окружности в плоскости *z*. Координаты центра окружности являются переменными, и их изменение модифицирует форму результирующего профиля. Окружность охватывает точку (где производная равна нулю) и проходит через точку. Это может быть достигнуто для любого допустимого положения центра путем изменения радиуса окружности. Профили Жуковского имеют острый угол на задней кромке. Тесно связанное конформное отображение, трансформация Кармана — Трефтца, генерирует более широкий класс профилей Кармана — Трефтца, контролируя угол задней кромки. При заданном угле задней кромки, равном нулю, трансформация Кармана — Трефтца сводится к трансформации Жуковского.
where is a complex variable in the new space and is a complex variable in the original space. In aerodynamics, the transform is used to solve for the two dimensional potential flow around a class of airfoils known as Joukowsky airfoils. A Joukowsky airfoil is generated in the complex plane ( plane) by applying the Joukowsky transform to a circle in the plane. The coordinates of the centre of the circle are variables, and varying them modifies the shape of the resulting airfoil. The circle encloses the point (where the derivative is zero) and intersects the point This can be achieved for any allowable centre position by varying the radius of the circle. Joukowsky airfoils have a cusp at their trailing edge. A closely related conformal mapping, the Kármán–Trefftz transform, generates the broader class of Kármán–Trefftz airfoils by controlling the trailing edge angle. When a trailing edge angle of zero is specified, the Kármán–Trefftz transform reduces to the Joukowsky transform.
Перевод Кармана Трефтца
Трансформация Кармана — Трефтца — это конформное отображение, тесно связанное с трансформацией Жуковского. В то время как профиль Жуковского имеет заостренный задний край, профиль Кармана — Трефтца, являющийся результатом преобразования окружности в плоскости z в физическую плоскость, аналогично определению профиля Жуковского, имеет ненулевой угол на задней кромке между верхней и нижней поверхностями профиля. Следовательно, трансформация Кармана — Трефтца требует дополнительного параметра: угол задней кромки α. Эта трансформация выражается как:
The Kármán–Trefftz transform is a conformal map closely related to the Joukowsky transform. While a Joukowsky airfoil has a cusped trailing edge, a Kármán–Trefftz airfoil—which is the result of the transform of a circle in the plane to the physical plane, analogue to the definition of the Joukowsky airfoil—has a non zero angle at the trailing edge, between the upper and lower airfoil surface. The Kármán–Trefftz transform therefore requires an additional parameter: the trailing edge angle This transform is
где k — действительная константа, определяющая положения, при которых w = ∞, и k немного меньше 2. Угол α между касательными к верхней и нижней поверхностям профиля на задней кромке связан с параметром k соотношением:
where is a real constant that determines the positions where , and is slightly smaller than 2. The angle between the tangents of the upper and lower airfoil surfaces at the trailing edge is related to as
Параметр k равен нулю для плоской пластины и стремится к бесконечности для окружности; таким образом, он соответствует толщине профиля. Кроме того, радиус цилиндра равен…
The parameter yields a flat plate when zero, and a circle when infinite; thus it corresponds to the thickness of the airfoil. Furthermore the radius of the cylinder .