Введение
В теории чисел дружественные числа — это два или более натуральных числа с общим индексом обилия, представляющим собой отношение между суммой делителей числа и самим числом. Два числа с одинаковым "индексом обилия" образуют дружественную пару; n чисел с одинаковым "индексом обилия" образуют дружественную n-кортеж. Взаимная дружественность — это отношение эквивалентности, и таким образом индуцирует разбиение положительных натуральных чисел на клубы (классы эквивалентности) взаимно "дружественных чисел". Число, не являющееся частью какой-либо дружественной пары, называется одиночным. Индекс обилия числа n — это рациональное число σ(n) / n, где σ обозначает функцию суммы делителей. Число n является "дружественным числом", если существует m ≠ n, такое что σ(m) / m = σ(n) / n. "Индекс обилия" не то же самое, что и избыток, который определяется как σ(n) − 2n. "Индекс обилия" также может быть выражен как где обозначает функцию делителя, равную сумме k-х степеней делителей n.
Числа от 1 до 5 все являются одиночными. Наименьшее "дружественное число" — 6, образующее, например, дружественную пару 6 и 28 с "индексом обилия" σ(6) / 6 = (1+2+3+6) / 6 = 2, что совпадает с σ(28) / 28 = (1+2+4+7+14+28) / 28 = 2. Общее значение 2 является целым числом в этом случае, но не во многих других. Числа с "индексом обилия" 2 также известны как совершенные числа. Существует несколько нерешенных проблем, связанных с "дружественными числами". Несмотря на сходство в названии, нет какой-либо конкретной связи между дружественными числами и дружелюбными (amicable) числами или общительными (sociable) числами, хотя определения последних двух также включают функцию делителя.
Одиночные числа
Число, которое принадлежит к клубу одиночек, потому что с ним не "дружелюбно" ни одно другое число, называется одиночным числом. Известно, что все простые числа являются одиночными, как и степени простых чисел. В более общем случае, если числа n и σ(n) взаимно простые – то есть, их наибольший общий делитель равен 1, следовательно, σ(n)/n является несократимой дробью – то число n является одиночным. Для простого числа p имеем σ(p) = p + 1, которое взаимно просто с p.
Не существует общего метода определения того, является ли число "дружественным" или одиночным. Наименьшее число, классификация которого неизвестна, – 10; предполагается, что оно одиночное. Если это не так, то его наименьший "друг" не меньше .
Большие клубы
Это открытая проблема, существуют ли бесконечно большие клубы взаимно "дружественных" чисел. Совершенные числа образуют клуб, и предполагается, что существует бесконечно много совершенных чисел (по крайней мере столько же, сколько существует простых чисел Мерсена), но доказательств этому нет. По состоянию на 2022 год известно 51 совершенное число, самое большое из которых содержит более 49 миллионов цифр в десятичной системе счисления. Существуют клубы с большим известным количеством членов: в частности, клубы, образованные кратно-совершенными числами, то есть числами, у которых "избыток" является целым числом. По состоянию на 2022 год клуб "дружественных" чисел с "избытком", равным 9, насчитывает 2130 известных членов. Хотя некоторые из них, как известно, довольно велики, предполагается, что клубы кратно-совершенных чисел (исключая сами совершенные числа) конечны.
Асимптотическая плотность
Каждая пара дружественных чисел a, b порождает положительную долю всех натуральных чисел, являющихся дружественными (но в разных группах), рассматривая пары na, nb для множителей n, таких что НОД(n, ab) = 1. Например, "примитивная" дружественная пара 6 и 28 порождает дружественные пары 6n и 28n для всех n, сравнимых с 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37 или 41 по модулю 42. Это показывает, что естественная плотность дружественных чисел (если она существует) положительна. Андерсон и Хикерсон предположили, что эта плотность на самом деле равна 1 (или, эквивалентно, что плотность одиночных чисел равна 0). Согласно статье MathWorld об одиночных числах (см. раздел "Ссылки" ниже), эта гипотеза остаётся нерешённой, хотя Померанс в один момент считал, что ему удалось её опровергнуть.