Кіріспе

Сандар теориясында достық сандар – жалпы молдық индексі бар екі немесе одан көп табиғи сандар, санның бөлгіштерінің қосындысы мен санның арасындағы қатынас. Бірдей "молдығы" бар екі сан достық жұпты құрайды; бірдей "молдығы" бар n сан достық n-топты құрайды. Өзара достық қарым-қатынас – бұл эквиваленттілік қатынас, сондықтан оң натурал сандарды өзара "достық сандардың" клубтарына (эквиваленттілік сыныптарына) бөлуге әкеледі. Бір-біріне достық емес санды жалғыз деп атайды. n-нің "молдық" индексі – σ(n) / n рационалдық саны, мұнда σ бөлгіштер функциясының қосындысын білдіреді. n саны "достық сан" болып табылады, егер m ≠ n болса, онда σ(m) / m = σ(n) / n. "Молдық" – бұл молдықпен бірдей емес, ол σ(n) − 2n деп анықталады. "Молдық" n-нің бөлгіштерінің k-шы дәрежелерінің қосындысына тең бөлгіш функциясы арқылы да өрнектеледі. 1-ден 5-ке дейінгі сандардың барлығы жеке. Ең кіші "достық сан" – 6, мысалы, "достық" жұп 6 және 28, "молдығы" σ(6) / 6 = (1+2+3+6) / 6 = 2, бұл σ(28) / 28 = (1+2+4+7+14+28) / 28 = 2-ге тең. Ортақ 2 мәні бұл жағдайда бүтін сан, бірақ көптеген басқа жағдайларда емес. "Молдығы" 2 сандары да толық сандар деп аталады. "Достық сандарға" қатысты бірнеше шешілмеген мәселелер бар. Атауының ұқсастығына қарамастан, достық сандар мен дос сандар немесе әлеуметтік сандар арасында нақты байланыс жоқ, бірақ соңғы екеуінің анықтамалары да бөлгіш функциясын қамтиды.

Жеке сандар

Жалғыздық клубына жататын сан, себебі басқа ешқандай сан онымен "достық" емес, жалғыз сан деп аталады. Барлық жай сандар, сондай-ақ жай сандардың дәрежелері де жалғыз болып табылады. Жалпы алғанда, егер n және σ(n) сандары өзара жай болса – яғни, осы сандардың ең үлкен ортақ бөлгіші 1-ге тең болса, демек σ(n)/n қысқартылмайтын бөлшек болса – онда n саны жалғыз болады. Жаи сан p үшін σ(p) = p + 1, ол p-мен өзара жай болады.

Қандай да бір санның "достық" немесе жалғыз екенін анықтау үшін белгілі бір әдіс жоқ. Классификациясы белгісіз ең кіші сан – 10; ол жалғыз деп есептеледі. Егер ол жалғыз болмаса, оның ең кішкентай досы кем дегенде .

Үлкен шұңқырлар

Өзара "достық" сандардың шексіз үлкен клубтары бар ма, жоқ па – бұл ашық мәселе. Кемел сандар клубты құрайды және шексіз көп кемел сандар бар деп болжанады (кем дегенде, Мерсенн жай сандарының санындай), бірақ оны дәлелдеуге әлі мүмкіндік жоқ. 2022 жылға дейін 51 кемел сан белгілі, олардың ең үлкені ондық санау жүйесінде 49 миллионнан астам таңбадан тұрады. Көптеген мүшелері белгілі клубтар бар: атап айтқанда, көп рет кемел сандардан құралған клубтар, яғни "артықтығы" бүтін сан болатын сандар. 2022 жылға дейін "артықтығы" 9-ға тең "достық" сандар клубының 2130 белгілі мүшесі бар. Кейбіреулерінің өте үлкен екені белгілі болғанымен, көп рет кемел сандар клубтары (олардың өзінен басқа) шекті деп болжанады.

Асимптотикалық тығыздық

Достық сандардың кез келген жұп a, b, n көбейтушілері үшін gcd(n, ab) = 1 шарты орындалғанда na, nb жұптарын қарастыру арқылы, барлық табиғи сандардың оң үлесі достық болады (бірақ әртүрлі топтарда). Мысалы, 6 және 28-дің "бастапқы" достық жұбы, 42 модулі бойынша 1, 5, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 37 немесе 41-ге конгруэнтті барлық n үшін 6n және 28n достық жұптарын тудырады. Бұл достық сандардың табиғи тығыздығы (егер ол болса) оң екенін көрсетеді. Андерсон мен Хикерсон тығыздық, шындығында 1 болуы керек деп ұсынды (немесе, эквивалентті түрде, жалғыз сандардың тығыздығы 0 болуы керек). MathWorld-тің "Жалғыз сан" мақаласына сәйкес (төмендегі Сілтемелер бөлімін қараңыз), бұл болжам әлі шешілмеген, бірақ Померанс бір кезде оны жоққа шығарды деп ойлаған.