Введение
Конечный упорядоченный список элементов.
В математике, кортеж — это конечная последовательность или упорядоченный список чисел или, в более общем случае, математических объектов, называемых элементами кортежа. Кортеж из n элементов — это кортеж, содержащий n элементов, где n — неотрицательное целое число. Существует только один 0-кортеж, называемый пустым кортежем. Кортеж из 1 элемента и кортеж из 2 элементов обычно называют синглетоном и упорядоченной парой соответственно. Кортеж может быть формально определен из упорядоченных пар рекурсивно, начиная с упорядоченных пар; действительно, кортеж из n элементов можно отождествить с упорядоченной парой, состоящей из его первых (n − 1) элементов и его n-го элемента. Кортежи обычно записываются перечислением элементов в круглых скобках "( )", разделенных запятой и пробелом; например, (2, 7, 4, 1, 7) обозначает 5-кортеж. Иногда для обрамления элементов используются другие символы, такие как квадратные скобки "[ ]" или угловые скобки "⟨ ⟩". Фигурные скобки "{ }" используются для обозначения массивов в некоторых языках программирования, но не в математических выражениях, поскольку они являются стандартным обозначением для множеств. Термин "кортеж" часто встречается при обсуждении других математических объектов, таких как векторы. В информатике кортежи представлены в различных формах. Большинство типизированных функциональных языков программирования реализуют кортежи непосредственно как типы-произведения, тесно связанные с алгебраическими типами данных, сопоставлением с образцом и деструктурирующим присваиванием. Многие языки программирования предлагают альтернативу кортежам, известную как типы записей, с неупорядоченными элементами, доступными по меткам. Некоторые языки программирования объединяют упорядоченные типы-произведения и неупорядоченные типы записей в единую конструкцию, как в структурах C и записях Haskell. Реляционные базы данных могут формально идентифицировать свои строки (записи) как кортежи. Кортежи также встречаются в реляционной алгебре; при программировании семантической сети с использованием Resource Description Framework (RDF); в лингвистике; и в философии.
Этимология
Термин возник как обобщение последовательности: одинарный, двойной, тройной, четверной, пятерный, шестерной, семерной, восьмерной, , n-кортеж, , где префиксы взяты из латинских названий чисел. Уникальный 0-кортеж называется нулевым кортежем или пустым кортежем. 1-кортеж называется одиночным элементом (или синглетоном), 2-кортеж называется упорядоченной парой, а 3-кортеж – тройкой (или триплетом). Число n может быть любым неотрицательным целым числом. Например, комплексное число можно представить как 2-кортеж действительных чисел, кватернион – как 4-кортеж, октонион – как 8-кортеж, а седенион – как 16-кортеж. Хотя в этих случаях используется суффикс -uple, первоначальным суффиксом был -ple, как в словах "triple" (тройной) или "decuple" (десятеричный). Этот суффикс происходит от средневекового латинского слова plus (означающего "больше"), восходящего к греческому -πλοῦς, который вытеснил классический и позднеантичный суффикс -plex (означающий "сложенный"), как в слове "duplex".
Определения
Существует несколько определений кортежей, которые наделяют их свойствами, описанными в предыдущем разделе.
-сущности множеств
В дискретной математике, особенно в комбинаторике и теории конечных вероятностей, n-кортежи возникают в контексте различных задач подсчета и рассматриваются неформально как упорядоченные списки длины n. n-кортежи, элементы которых берутся из множества, содержащего m элементов, также называются размещениями с повторениями, перестановками мультимножества и, в некоторых неанглоязычных источниках, вариациями с повторениями. Количество n-кортежей из множества, содержащего m элементов, равно m^(n). Это следует из комбинаторного правила произведения. Если S – конечное множество кардинальности m, то это число является кардинальностью n-кратного декартова произведения S × S × ⋯ × S. Кортежи являются элементами этого декартова произведения.