Введение
Математическая концепция
В математике развивающихся систем концепция центрального многообразия была первоначально разработана для определения устойчивости вырожденных равновесий. Впоследствии было осознано, что концепция центральных многообразий является фундаментальной для математического моделирования. Центральные многообразия играют важную роль в теории бифуркаций, поскольку интересное поведение проявляется на центральном многообразии, а также в многомасштабной математике, поскольку долгосрочная динамика микромасштаба часто стремится к относительно простому центральному многообразию, включающему переменные крупного масштаба.
In the mathematics of evolving systems, the concept of a center manifold was originally developed to determine stability of degenerate equilibria. Subsequently, the concept of center manifolds was realised to be fundamental to mathematical modelling. Center manifolds play an important role in bifurcation theory because interesting behavior takes place on the center manifold and in multiscale mathematics because the long time dynamics of the micro scale often are attracted to a relatively simple center manifold involving the coarse scale variables.
Неофициальное описание
Кольца Сатурна охватывают значительную часть геометрии центрального многообразия. Частицы пыли в кольцах подвержены приливным силам, которые характерным образом "сжимают и растягивают" их. Эти силы сжимают орбиты частиц в кольца, растягивают частицы вдоль колец и не учитывают небольшие изменения радиуса кольца. Направление сжатия определяет стабильный коллектор, направление растяжения – нестабильный коллектор, а нейтральное направление – центральный коллектор. Несмотря на геометрическую точность, одно существенное отличие выделяет кольца Сатурна из физических центральных многообразий. Как и большинство динамических систем, частицы в кольцах подчиняются законам второго порядка. Для понимания траекторий необходимо моделировать положение и переменную скорость/импульс, чтобы получить тангенциальную многообразную структуру, называемую фазовым пространством. Физически, стабильные, нестабильные и нейтральные многообразия системы колец Сатурна не разделяют координатное пространство для положения частицы; вместо этого они аналогичным образом разделяют фазовое пространство. Центральный коллектор обычно проявляет себя как расширенное множество седловых точек. Некоторые пары "положение-скорость" притягиваются к центральному коллектору, в то время как другие отталкиваются от него. Небольшие возмущения, как правило, толкают их случайным образом и часто выталкивают из центрального многообразия. Однако существуют яркие контрпримеры нестабильности в центральном многообразии, известные как лагранжевы когерентные структуры. Полная динамика невозмущенного твердого тела, например шара, представляет собой центральный коллектор. Более сложным примером является поток Аносова на касательных расслоениях римановых поверхностей. В этом случае тангенциальное пространство очень четко и точно разделяется на три части: нестабильное и стабильное расслоения, между которыми находится нейтральное многообразие.
Центральные коллекторы бесконечномерных или неавтономных систем
Однако для некоторых приложений, таких как дисперсия в трубах или каналах, требуется центральное многообразие бесконечной размерности. Наиболее общая и мощная теория была разработана Аульбахом и Ваннером. Они рассматривали неавтономные динамические системы в бесконечных измерениях, с потенциально бесконечными по размерности устойчивыми, неустойчивыми и центральными многообразиями. Кроме того, они полезно обобщили определение этих многообразий, связав центральное многообразие с собственными значениями, удовлетворяющими условию , устойчивое многообразие – с собственными значениями , а неустойчивое многообразие – с собственными значениями . Они доказали существование этих многообразий и формирование центрального многообразия посредством нелинейных преобразований координат. Потцше и Расмуссен установили соответствующую теорему об аппроксимации для таких бесконечномерных неавтономных систем.
Альтернативная теория обратного пути
Вся существующая теория, упомянутая выше, направлена на установление инвариантных многообразий для конкретной рассматриваемой задачи. В частности, строят многообразие, аппроксимирующее инвариантное многообразие данной системы. Альтернативный подход заключается в построении точных инвариантных многообразий для системы, аппроксимирующей исходную систему, что называется обратной теорией. Цель состоит в том, чтобы эффективно применять теорию к более широкому классу систем и оценивать погрешности и область применимости. Этот подход аналогичен хорошо известному обратному анализу ошибок в численном моделировании.
Центральный коллектор и анализ нелинейных систем
Поскольку устойчивость равновесия связана с "устойчивостью" его инвариантных многообразий, существование центрального многообразия ставит вопрос о динамике на этом многообразии. Это анализируется с помощью редукции к центральному многообразию, которая, в сочетании с некоторым параметром системы μ, приводит к понятию бифуркаций.
Примеры
В статье Википедии о медленных многообразиях приведено больше примеров.