Введение

Положительное целое число, являющееся целой степенью другого положительного целого числа.

В математике, совершенная степень — это натуральное число, которое можно представить в виде произведения равных натуральных множителей, или, другими словами, целое число, которое можно выразить как квадрат или более высокую целую степень другого целого числа, большего единицы. Более формально, число n является совершенной степенью, если существуют натуральные числа m > 1 и k > 1 такие, что m^k = n. В этом случае число n можно назвать совершенной k-й степенью. Если k = 2 или k = 3, то n называется соответственно полным квадратом или полным кубом. Иногда 0 и 1 также считаются совершенными степенями (0^k = 0 для любого k > 0, 1^k = 1 для любого k).

Обнаружение совершенных сил

Обнаружение того, является ли данное натуральное число n совершенной степенью, может быть выполнено многими различными способами, с различной степенью сложности. Один из простейших таких методов – рассмотреть все возможные значения k для каждого из делителей n. Таким образом, если делителями n являются d₁, d₂, ..., dₙ, то одно из значений dᵢᵏ должно быть равно n, если n действительно является совершенной степенью. Этот метод можно сразу упростить, рассматривая только простые значения k. Это связано с тем, что если aᵏ = b, где a – составное число, а p – простое число, являющееся делителем a, то можно переписать это как (pᵐ)ᵏ = b, где m – некоторое натуральное число. Следовательно, минимальное значение k должно быть простым числом. Если известно полное разложение n на простые множители, например, n = p₁ᵃ¹ * p₂ᵃ² * ... * pₙᵃⁿ, где p₁, p₂, ..., pₙ – различные простые числа, то n является совершенной степенью тогда и только тогда, когда gcd(a₁, a₂, ..., aₙ) > 1, где gcd обозначает наибольший общий делитель. В качестве примера рассмотрим n = 296·360·724. Поскольку gcd(96, 60, 24) = 12, n является совершенной 12-й степенью (и совершенной 6-й степенью, 4-й степенью, кубом и квадратом, поскольку 6, 4, 3 и 2 делят 12).

Пробелы между совершенными силами

В 2002 году румынский математик Преда Михайлеску доказал, что единственная пара последовательных совершенных степеней — это 2³ = 8 и 3² = 9, тем самым доказав гипотезу Каталана. Гипотеза Пиллая утверждает, что для любого заданного положительного целого числа k существует лишь конечное число пар совершенных степеней, разность которых равна k. Это остаётся нерешённой проблемой.