Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Позитивті бүтін сан, басқа позитивті бүтін санның бүтін дәрежесі болып табылатын.
Жарыс жотасы
Positive integer that is an integer power of another positive integer
the racehorse
Математикада, толық дәреже – тең табиғи көбейткіштердің көбейтіндісі, яғни, бірден үлкен басқа бүтін санның квадраты немесе жоғары дәрежесі ретінде өрнектелуі мүмкін бүтін сан. Формальды түрде, n толық дәреже болып есептеледі, егер m > 1 және k > 1 болатын табиғи сандар табылып, mk = n теңдігі орындалса. Бұл жағдайда n – k-шы толық дәреже деп аталуы мүмкін. Егер k = 2 немесе k = 3 болса, онда n сәйкесінше толық квадрат немесе толық куб деп аталады. Кейде 0 және 1 де толық дәрежелер деп есептелінеді (0k = 0 кез келген k > 0 үшін, 1k = 1 кез келген k үшін).
In mathematics, a perfect power is a natural number that is a product of equal natural factors, or, in other words, an integer that can be expressed as a square or a higher integer power of another integer greater than one. More formally, n is a perfect power if there exist natural numbers m > 1, and k > 1 such that mk = n. In this case, n may be called a perfect kth power. If k = 2 or k = 3, then n is called a perfect square or perfect cube, respectively. Sometimes 0 and 1 are also considered perfect powers (0k = 0 for any k > 0, 1k = 1 for any k).
Кемелсіз қуаттарды анықтау
Берілген n табиғи саны толық қуат болатынын анықтау әртүрлі күрделілік деңгейлерімен әртүрлі жолдармен жүзеге асырылуы мүмкін. Ең қарапайым әдістердің бірі – n-нің әр бөлгіші үшін k-ның барлық мүмкін мәндерін қарастыру. Егер n-нің бөлгіштері a1, a2, ..., ak болса, онда k-ның біреуі n-ге тең болуы керек, егер n шын мәнінде толық қуат болса. Бұл әдісті k-ның жай мәндерін ғана қарастыру арқылы бірден оңайлатуға болады. Себебі, егер p жай сан болса, онда оны былай жазуға болады. Осы нәтижеге сүйене отырып, k-ның ең кішкентай мәні міндетті түрде жай сан болуы керек. Егер n-нің толық жіктелуі белгілі болса, мысалы, онда n толық қуат болады, егер және тек егер gcd ең үлкен ортақ бөлгішті білдірсе. Мысалы, n = 296·360·724 санын қарастырайық. gcd(96, 60, 24) = 12 болғандықтан, n – 12-ші толық қуат (сондай-ақ 6-шы толық қуат, 4-ші қуат, куб және квадрат, өйткені 6, 4, 3 және 2 сандары 12-ні бөледі).
Detecting whether or not a given natural number n is a perfect power may be accomplished in many different ways, with varying levels of complexity. One of the simplest such methods is to consider all possible values for k across each of the divisors of n, up to So if the divisors of are then one of the values must be equal to n if n is indeed a perfect power. This method can immediately be simplified by instead considering only prime values of k. This is because if for a composite where p is prime, then this can simply be rewritten as Because of this result, the minimal value of k must necessarily be prime. If the full factorization of n is known, say where the are distinct primes, then n is a perfect power if and only if where gcd denotes the greatest common divisor. As an example, consider n = 296·360·724. Since gcd(96, 60, 24) = 12, n is a perfect 12th power (and a perfect 6th power, 4th power, cube and square, since 6, 4, 3 and 2 divide 12).
Кемелсіз қуаттар арасындағы алшақтықтар
2002 жылы румын математигі Преда Михайлеску 2³ = 8 және 3² = 9 – тізбектелген толық дәрежелердің жалғыз жұбы екенін дәлелдеді, осылайша Каталанның болжамын растады. Пилайдың болжамы кез келген оң бүтін k саны үшін айырымы k-ға тең толық дәрежелер жұбының саны шектеулі екенін айтады. Бұл әлі шешілмеген мәселе.
In 2002 Romanian mathematician Preda Mihăilescu proved that the only pair of consecutive perfect powers is 23 = 8 and 32 = 9, thus proving Catalan's conjecture. Pillai's conjecture states that for any given positive integer k there are only a finite number of pairs of perfect powers whose difference is k. This is an unsolved problem.