Введение

Звучание непрерывно меняющихся математических перестановок на колоколах.

Звон по методу (также известный как научный звон) – это форма переливного звона, в которой звонари запоминают правила генерации каждой перестановки последовательности, при этом затронуты пары колоколов. Это создает форму колокольной музыки, которая постоянно меняется, но которую нельзя воспринимать как обычную мелодию. Это способ воспроизведения непрерывно меняющихся математических перестановок. Он отличается от звона по призыву, когда звонарям даются инструкции о том, как генерировать каждое новое изменение по указаниям дирижера, и, строго говоря, только два соседних колокола меняют свои места при каждом изменении. При звоне по методу звонари переходят от перестановки к перестановке, следуя правилам метода. Звонари обычно изучают конкретный метод, изучая его «синюю линию» – диаграмму, показывающую его структуру. Математическая основа звона по методу тесно связана с теорией групп. Основным элементом звона по методу является простой перебор. Первый метод, Грандсайр, был разработан около 1650 года, предположительно Робертом Роаном, который стал мастером общества переливного звона в 1652 году. Подробности метода для пяти колоколов были опубликованы в 1668 году в Tintinnalogia (Фабиан Стедман и Ричард Дакворт) и Campanalogia (1677 – написана исключительно Стедманом), которые являются первыми двумя публикациями на эту тему. Эта практика возникла в Англии и до сих пор там наиболее популярна; помимо колоколов в церковных башнях, она часто исполняется и на ручных колоколах.

Основные

Существуют тысячи различных методов, несколько из которых представлены ниже.

Обычная охота

Простая охота — это простейшая форма непрерывного генерирования изменяющихся перестановок и фундаментальный элемент методов перезвона. Её можно расширить на любое количество колоколов. Она состоит из прямолинейного и неизменного движения колокола между первым и последним местами в порядке ударов, с двумя ударами в первом и последнем положении для обеспечения разворота. Таким образом, каждый колокол перемещается на одну позицию при каждой последующей смене, за исключением случаев, когда он достигает первого или последнего положения, где он остаётся на две смены, прежде чем продолжить движение к другому концу последовательности.

Нумерация колоколов

Самый высокий по высоте звучания колокол называется треблью, а самый низкий – тенором. В большинстве колоколен перебор колоколов (или веревок) идет по часовой стрелке, начиная с требли. Для удобства колокола нумеруются, при этом требль имеет номер 1, а остальные колокола нумеруются по высоте звучания (2, 3, 4 и т.д.) последовательно вниз по гамме. Колокола обычно настраиваются на диатонический мажор, при этом тенор является тоникой (или основной нотой) гаммы.

Звонок и изменения

Самый простой способ использования набора колоколов – это звон в раундах, когда колокола последовательно звучат от самого высокого до самого низкого, повторяясь: 1, 2, 3 и т. д. (Музыканты узнают в этом часть нисходящей гаммы.) Звонари обычно начинают с раундов, а затем меняют порядок колоколов, переходя к серии различных комбинаций. Каждая комбинация (или смена) представляет собой определенную перестановку колоколов (например, 123456 или 531246) – то есть, в ней каждый колокол звонит ровно один раз, а разница между комбинациями заключается в порядке, в котором колокола следуют друг за другом. Простая охота – это самый простой способ создания перестановок колоколов, или смен.

Получение максимальных уникальных изменений

Поскольку в игре задействованы перестановки, естественно, что для некоторых людей конечной теоретической целью перезвона является звон в каждой возможной перестановке; это называется протяжённостью (в прошлом это иногда называлось полным перезвоном). Для метода на *n* колоколах существует *n*! (читайте "n факториал") возможных перестановок, число которых быстро растёт с увеличением *n*. Например, на шести колоколах существует 720 перестановок, а на восьми – 40 320; более того, 10! = 3 628 800, а 12! = 479 001 600.

"Правда" метода кольца

Оценивая, что на каждую перестановку уходит две секунды (разумный темп), мы видим, что звон в 6 колоколов можно завершить за полчаса, в то время как полный звон в 8 колоколов займет почти двадцать два с половиной часа, а звон в 12 колоколов – более тридцати лет! Естественно, что, за исключением башен с небольшим количеством колоколов, звонари обычно могут исполнить лишь часть от всех возможных перестановок. Однако ключевое требование для звона в степень – уникальность (каждый ряд должен быть исполнен только один раз) – считается обязательным. Это называется правильностью; повторение любого ряда сделает исполнение ошибочным.

Допустимые изменения положения

Еще одно ключевое ограничение заключается в том, что каждый колокол не может перемещаться вверх или вниз более чем на одну позицию от ряда к ряду; если он звонит, например, четвертым в одном ряду, то в следующем ряду он может звонить только третьим, четвертым или пятым. Таким образом, от ряда к ряду каждый колокол либо сохраняет свою позицию, либо меняется местами с одним из своих ближайших соседей. Это правило обусловлено физической реальностью башенных колоколов: колокол, совершая полный оборот при каждом ряду, обладает значительной инерцией, а звонарь имеет лишь ограниченную возможность ускорять или замедлять его колебания.

Начинайте и заканчивайте с "раундов".

Третье ключевое правило предписывает начинать и заканчивать все звоны раундом. Итак, подводя итог: любое исполнение должно начинаться с раунда, посещать ряд других рядов (будь то все возможные перестановки или лишь их подмножество), но каждый ряд только один раз, а затем безопасно возвращаться в раунд, при этом совершая только небольшие перестановки соседних колоколов от ряда к ряду. Эти правила значительно ограничивают возможности создателя методов. Например, рассмотрим башню с четырьмя колоколами. Расширение включает 4! = 24 перестановки, и, естественно, существует 24! возможных порядков, в которых можно прозвонить каждую перестановку один раз, что составляет примерно 6,2 × 1023. Однако, если ограничиться перестановками соседних колоколов и требованием начинать и заканчивать раундом, остается всего 10 792 возможных расширений.

Причина методов

Чтобы ориентироваться в этой сложной обстановке, были разработаны различные методы, позволяющие звонарям планировать свой ход заранее, не прибегая к запоминанию всего (невыполнимая задача) или чтению монотонного и повторяющегося списка номеров. Вместо этого, путём сочетания короткого и простого для запоминания шаблона с несколькими регулярными точками изменения, где можно вносить небольшие вариации, формируется надёжный алгоритм. В этом и заключается суть метода колокольного звона.

Свинец

Лид – это часть простого курса. Он начинается с начала метода и продолжается до тех пор, пока требле не вернется на исходную позицию. На диаграмме простого боя Минор, показанной на рисунке, лид начинается, когда требль звонит на втором месте, и продолжается до тех пор, пока требль не прозвонит дважды в роли ведущего. В диаграммах обычно проводят линию под окончанием лида, чтобы облегчить понимание метода. Большинство методов имеют простой курс, состоящий из нескольких лидов, где рисунок повторяется, но разные колокола занимают разные места. На приведенной диаграмме колокол №4 звонит тот же рисунок, что и колокол №2, но на один лид раньше. В принципах (где требль выполняет ту же работу, что и другие колокола, и подвержен призывам) определение лида может стать более сложным.

Звонки и композиции

Чтобы получить больше перестановок, чем доступно в простом ходе, руководитель (дирижер) подает сигнал, направляя звонарей на небольшое изменение хода. (Наиболее распространенные сигналы называются бобами и синглами.) Эти изменения обычно длятся только одну перестановку, но приводят к тому, что два или более звонаря меняют свои траектории, после чего продолжают следовать обычной схеме. Правильно вводя такие сигналы, можно избежать повторений, сохраняя при этом правильность перезвона на протяжении большого количества перестановок. Например, полный ход в минорном методе состоит из 720 (6!) перестановок, что требует 12 повторений показанного хода. Чтобы знать, когда и какие сигналы подавать, руководитель следует плану, называемому композицией, который был разработан им или кем-то другим; при правильной конструкции композиция гарантирует точное исполнение заданной длины. Сегодня компьютеры позволяют легко проверить правильность композиции, но ранее этот процесс включал в себя сочетание математических расчетов и кропотливой проверки каждой строки. Вероятно, величайшим композитором XX века был Альберт Питман, который сочинил более ста перезвонов между 1910 и 1965 годами, полностью вручную. Ни одна из его композиций не была признана ошибочной ни тогда, ни позднее.

Обозначение места (сокращение)

Помимо записи изменений от руки (как на сопровождающей иллюстрации Plain Bob Minor) существует стенографическая система, называемая Place Notation (обозначение мест). Для каждого ряда, в котором все колокола меняют свои места, например, первое изменение, используйте "x" или " ". В рядах, где один или несколько колоколов остаются на месте, запишите номера мест, которые не меняются, так что вторая строка будет записана как "16". Таким образом, Plain Bob Minor записывается как x16x16x16x16x16x12. Многие методы симметричны, поэтому приводится только первая половина свинца, а также, возможно, конец свинца. Plain Bob Minor выглядит следующим образом: x16x16x16 le:12. Если два изменения, состоящие из цифр, следуют друг за другом, используйте точку для их разделения. Plain Bob Doubles (то есть на 5 колоколах) записывается как: 5.1.5.1.5 le:125, или, если записать полностью: 5.1.5.1.5.1.5.1.5.125.