Введение
Тип статистической модели В статистике полупараметрическая модель – это статистическая модель, включающая параметрические и непараметрические компоненты. Статистическая модель – это параметризованное семейство распределений, индексируемое параметром. Параметрическая модель – это модель, в которой индексирующий параметр является вектором в n-мерном евклидовом пространстве, где n – неотрицательное целое число. Таким образом, параметр имеет конечную размерность. В непараметрической модели множество возможных значений параметра является подмножеством некоторого пространства, которое не обязательно имеет конечную размерность. Например, можно рассмотреть множество всех распределений со средним значением 0. Такие пространства являются векторными пространствами с топологической структурой, но не обязательно являются конечномерными как векторные пространства. Таким образом, параметр принадлежит некоторому, возможно, бесконечномерному пространству. В полупараметрической модели параметр имеет как конечномерную, так и бесконечномерную компоненты (часто – это вещественнозначная функция, определенная на вещественной прямой). Таким образом, параметр представляется как , где – бесконечномерное пространство. На первый взгляд может показаться, что полупараметрические модели включают непараметрические модели, поскольку они содержат как бесконечномерную, так и конечномерную компоненты. Однако полупараметрическая модель считается "более узкой", чем полностью непараметрическая модель, поскольку нас часто интересует только конечномерная составляющая параметра. То есть, бесконечномерная составляющая рассматривается как побочный параметр. В непараметрических моделях, напротив, основной интерес заключается в оценке бесконечномерного параметра. Таким образом, задача оценки статистически сложнее в непараметрических моделях. В этих моделях часто используются методы сглаживания или ядра.
A parametric model is a model in which the indexing parameter is a vector in dimensional Euclidean space, for some nonnegative integer Thus, is finite dimensional, and With a nonparametric model, the set of possible values of the parameter is a subset of some space , which is not necessarily finite dimensional. For example, we might consider the set of all distributions with mean 0. Such spaces are vector spaces with topological structure, but may not be finite dimensional as vector spaces. Thus, for some possibly infinite dimensional space With a semiparametric model, the parameter has both a finite dimensional component and an infinite dimensional component (often a real valued function defined on the real line). Thus, , where is an infinite dimensional space. It may appear at first that semiparametric models include nonparametric models, since they have an infinite dimensional as well as a finite dimensional component. However, a semiparametric model is considered to be "smaller" than a completely nonparametric model because we are often interested only in the finite dimensional component of That is, the infinite dimensional component is regarded as a nuisance parameter. In nonparametric models, by contrast, the primary interest is in estimating the infinite dimensional parameter. Thus the estimation task is statistically harder in nonparametric models. These models often use smoothing or kernels.
Пример
Известным примером полупараметрической модели является модель пропорциональных рисков Кокса. Если нас интересует изучение времени до наступления события, такого как смерть от рака или отказ лампочки, модель Кокса задает следующую функцию распределения для :
где – вектор ковариат, а и – неизвестные параметры. Здесь – конечномерный и представляет интерес; – неизвестная неотрицательная функция времени (известная как функция базового риска) и часто является побочным параметром. Множество возможных кандидатов для является бесконечномерным.